Sabe-se que o potencial elétrico é
volts e que as superfícies equipotenciais
volts são superfícies condutoras.
Determine o tipo de distribuição de cargas existente no ponto
e a densidade de carga neste ponto;
Determine o tipo de distribuição de cargas existente no ponto
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta duas coisas claras:
- Potencial elétrico:
volts. - As superfícies equipotenciais
e volts são superfícies condutoras. - Ponto pedido:
.
O que o problema pede:
- Determinar o tipo de distribuição de cargas existente no ponto
. - Determinar a densidade de carga no ponto
.
Passo 2
Primeiro vamos avaliar o potencial no ponto
para ver se ele está sobre uma superfície condutora ou no volume:
Calculemos
em
:
Como
não é nem
nem
, o ponto
não está sobre nenhuma das superfícies condutoras fornecidas. Conclusão útil (sem ainda resolver a densidade): o ponto está no volume (região onde o potencial toma o valor
), portanto qualquer carga presente ali seria uma densidade volumétrica (não uma carga de superfície localizada numa superfície condutora).
Passo 3
Agora vamos à relação entre potencial e carga: precisamos da fórmula que liga
e a densidade de carga
. Vou explicar de forma direta e didática:
- Campo elétrico
está relacionado ao potencial por
Aqui
é o gradiente de
, que é o vetor das derivadas parciais:
.
- A lei de Gauss (local) em forma diferencial diz
onde
é a divergência do campo elétrico,
é a densidade volumétrica de carga (unidade
) e
é a permissividade do vácuo.
- Substituindo
em Gauss obtemos a equação de Poisson:
onde
é o operador Laplaciano (a soma das segundas derivadas parciais). Portanto, isolando
,
Interpretação prática: para achar a densidade de carga num ponto basta calcular o Laplaciano de
naquele ponto e multiplicar por
.
Passo 4
Vamos calcular o Laplaciano de
. Lembre que
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
- Derivadas em
:
- Derivadas em
:
- Derivadas em
: como não depende de ,
Assim o Laplaciano é
Avalie em
:
Passo 5
Agora usamos a equação de Poisson para obter
em
:
Em unidades numéricas, tomando
,
Interpretação física curta: o sinal negativo indica que a densidade volumétrica de carga naquele ponto é negativa (mais carga negativa do que positiva por unidade de volume). Como concluímos no Passo 2, como
não está numa superfície condutora, a distribuição ali é volumétrica.
Força final: você já resolveu o procedimento padrão — avaliar
no ponto, ver se está em uma superfície condutora, calcular
e usar
. Está indo bem — isso vale para qualquer potencial suave que você encontrar em provas.
Resposta
Tipo: carga volumétrica (densidade volumétrica), negativa.
Densidade de carga no ponto :
Densidade de carga no ponto