Sabe-se que o potencial elétrico é V=x^{4}+y^{4}-1 volts e que as superfícies equipotenciais \mathrm{V}=0 \mathrm{e} \mathrm{V}=100 volts são superfícies condutoras.
Determine o tipo de distribuição de cargas existente no ponto \mathrm{P}(2,1,3)\ e a densidade de carga neste ponto;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta duas coisas claras:
  • Potencial elétrico: V=x^{4}+y^{4}-1 volts.
  • As superfícies equipotenciais \mathrm{V}=0 e \mathrm{V}=100 volts são superfícies condutoras.
  • Ponto pedido: P(2,1,3).
O que o problema pede:
  1. Determinar o tipo de distribuição de cargas existente no ponto P(2,1,3).
  2. Determinar a densidade de carga no ponto P(2,1,3).

Passo 2

Primeiro vamos avaliar o potencial no ponto P para ver se ele está sobre uma superfície condutora ou no volume:
Calculemos V em P(2,1,3):
V(2,1,3)=2^{4}+1^{4}-1=16+1-1=16.
Como V(2,1,3)=16 não é nem 0 nem 100, o ponto P não está sobre nenhuma das superfícies condutoras fornecidas. Conclusão útil (sem ainda resolver a densidade): o ponto está no volume (região onde o potencial toma o valor 16), portanto qualquer carga presente ali seria uma densidade volumétrica (não uma carga de superfície localizada numa superfície condutora).

Passo 3

Agora vamos à relação entre potencial e carga: precisamos da fórmula que liga V e a densidade de carga \rho. Vou explicar de forma direta e didática:
  • Campo elétrico \mathbf{E} está relacionado ao potencial V por
\mathbf{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V, que é o vetor das derivadas parciais: \nabla V=(\partial V/\partial x,\;\partial V/\partial y,\;\partial V/\partial z).
  • A lei de Gauss (local) em forma diferencial diz
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
onde \nabla\cdot\mathbf{E} é a divergência do campo elétrico, \rho é a densidade volumétrica de carga (unidade \mathrm{C/m}^3) e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • Substituindo \mathbf{E}=-\nabla V em Gauss obtemos a equação de Poisson:
\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
onde \nabla^{2}=\nabla\cdot\nabla é o operador Laplaciano (a soma das segundas derivadas parciais). Portanto, isolando \rho,
\rho = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V.
Interpretação prática: para achar a densidade de carga num ponto basta calcular o Laplaciano de V naquele ponto e multiplicar por -\varepsilon_{0}.

Passo 4

Vamos calcular o Laplaciano de V(x,y,z)=x^{4}+y^{4}-1. Lembre que
\nabla^{2}V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Calcule as derivadas parciais passo a passo:
  • Derivadas em x:
\frac{\partial V}{\partial x}=4x^{3},
\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}=12x^{2}.
  • Derivadas em y:
\frac{\partial V}{\partial y}=4y^{3},
\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=12y^{2}.
  • Derivadas em z: como V não depende de z,
\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0.
Assim o Laplaciano é
\nabla^{2}V=12x^{2}+12y^{2}+0=12(x^{2}+y^{2}).
Avalie em P(2,1,3):
\nabla^{2}V(2,1,3)=12(2^{2}+1^{2})=12(4+1)=12\cdot5=60.

Passo 5

Agora usamos a equação de Poisson para obter \rho em P:
\rho(P)=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V(2,1,3)=-\varepsilon_{0}\cdot60=-60\,\varepsilon_{0}.
Em unidades numéricas, tomando \varepsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\rho(P)\approx -60\times8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{3}}\approx -5{,}31\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Interpretação física curta: o sinal negativo indica que a densidade volumétrica de carga naquele ponto é negativa (mais carga negativa do que positiva por unidade de volume). Como concluímos no Passo 2, como P não está numa superfície condutora, a distribuição ali é volumétrica.
Força final: você já resolveu o procedimento padrão — avaliar V no ponto, ver se está em uma superfície condutora, calcular \nabla^{2}V e usar \rho=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}V. Está indo bem — isso vale para qualquer potencial suave que você encontrar em provas.

Resposta

Tipo: carga volumétrica (densidade volumétrica), negativa.
Densidade de carga no ponto P(2,1,3): \rho=-60\,\varepsilon_{0}\\ \mathrm{C/m^{3}}\approx -5{,}31\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^{3}}

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