Sabe-se que o potencial elétrico é V=x^{4}+y^{4}-1 volts e que as superfícies equipotenciais \mathrm{V}=0 \mathrm{e} \mathrm{V}=100 volts são superfícies condutoras.
Determine o tipo de distribuição de cargas existente no ponto \mathrm{P}(1,0,0)\ e a densidade de carga neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o tipo de distribuição de cargas no ponto P(1,0,0) e (ii) calcular a densidade de carga nesse ponto.
Informações dadas e relevantes:
  • O potencial elétrico é \displaystyle V(x,y,z)=x^{4}+y^{4}-1 volts.
  • As superfícies equipotenciais \mathrm{V}=0 e \mathrm{V}=100 volts são superfícies condutoras.
  • O ponto pedido é P(1,0,0).
    Nota imediata: vou usar o valor do potencial no ponto P e as propriedades de condutores para decidir o tipo de carga e depois relacionar o gradiente do potencial com a densidade superficial de carga.

Passo 2

Primeiro calculemos o potencial em P para saber se o ponto pertence a qual superfície equipotencial. Substituindo x=1 e y=0 em V:
V(1,0,0)=1^{4}+0^{4}-1=0.
Logo P está sobre a superfície equipotencial \mathrm{V}=0, que o enunciado diz ser condutora.

Passo 3

Conceito importante (explicado devagar): num condutor eletrostático em equilíbrio, o campo elétrico dentro do material condutor é nulo ( \mathbf{E}_{\text{dentro}}=\mathbf{0}) e toda carga excessiva reside na superfície do condutor. Portanto, se um ponto está sobre uma superfície condutora, a carga localizada ali é uma carga superficial (não volumétrica nem linear). Conclusão provisória: em P existe carga superficial.

Passo 4

Agora precisamos da densidade superficial de carga \sigma em P. Relação básica entre potencial e campo elétrico:
\mathbf{E}=-\nabla V.
Aqui \nabla V é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais de V em relação a x,y,z. Vou calcular \nabla V.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial x}=4x^{3},\qquad \frac{\partial V}{\partial y}=4y^{3},\qquad \frac{\partial V}{\partial z}=0.
Portanto
\nabla V = (4x^{3},\,4y^{3},\,0).
No ponto P(1,0,0) temos
\nabla V(P) = (4,\,0,\,0).
Assim o campo elétrico imediatamente fora do condutor (onde o potencial é dado por V) é
\mathbf{E}_{\text{fora}}(P) = -\nabla V(P)=(-4,\,0,\,0)\\ \text{V/m}.

Passo 6

Agora a fórmula para densidade superficial de carga num condutor (derivada da lei de Gauss aplicada a um “pílula” atravessando a superfície) é
\sigma=\varepsilon_{0}\,(\mathbf{E}_{\text{fora}}\cdot\hat{n}) ,
onde \hat{n} é o versor normal à superfície apontando para fora do condutor (para o lado onde calculamos \mathbf{E}_{\text{fora}}). Outra forma equivalente, usando a derivada normal do potencial, é
\sigma=-\varepsilon_{0}\,\left.\frac{\partial V}{\partial n}\right|_{\text{fora}},
pois \mathbf{E}_{\text{fora}}\cdot\hat{n}=-\partial V/\partial n.

Passo 7

O vetor gradiente \nabla V é normal à superfície equipotencial e aponta na direção do aumento de V. Assim o versor normal unitário escolhido naturalmente (para o lado em que \nabla V aponta) é
\hat{n}=\frac{\nabla V}{\lVert\nabla V\rVert}.
No ponto P temos \nabla V(P)=(4,0,0) e seu módulo é \lVert\nabla V(P)\rVert=4. Portanto a derivada normal para o lado em que \nabla V aponta é
\left.\frac{\partial V}{\partial n}\right|_{P}=\nabla V(P)\cdot\hat{n}=\lVert\nabla V(P)\rVert=4.
Usando a fórmula para \sigma:
\sigma(P)=-\varepsilon_{0}\cdot 4 = -4\varepsilon_{0}.

Passo 8

Interpretação e valor numérico. O sinal negativo indica que a carga superficial local é negativa quando tomamos \hat{n} no sentido de \nabla V (ou seja, a componente normal de \mathbf{E} aponta para dentro no sentido adotado). Em valor numérico, usando \displaystyle \varepsilon_{0}\approx 8,854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\sigma(P)=-4\varepsilon_{0}\approx -3,54\times 10^{-11}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Resposta

Distribuição: carga superficial (no ponto P há carga na superfície condutora).
Densidade de carga: \displaystyle \sigma(P)=-4\varepsilon_{0}\approx -3,54\times10^{-11}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

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