Sabe-se que a probabilidade de a intensidade de radiação solar atingir um certo nível máximo é 1 / 4 para dias chuvosos e 7 / 8 para dias não chuvosos. Sabe-se também que para uma certa localidade a probabilidade de dia chuvoso é 9 / 25. Qual a probabilidade de ocorrer esse valor máximo de radiação solar?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • A probabilidade de atingir o valor máximo de radiação num dia chuvoso é \dfrac{1}{4}.
    • A probabilidade de atingir o valor máximo de radiação num dia não chuvoso é \dfrac{7}{8}.
    • A probabilidade de ser dia chuvoso naquela localidade é \dfrac{9}{25}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a probabilidade de, num dia qualquer naquela localidade, ocorrer esse valor máximo de radiação.

Passo 2

Vamos formalizar os eventos e a ideia que vamos usar (explicação didática do que significa cada coisa).
  • Defina os eventos:
    • C = “o dia é chuvoso”.
    • M = “ocorre o valor máximo de radiação”.
  • O enunciado fornece:
    • \Pr(M\mid C)=\dfrac{1}{4}.
    • \Pr(M\mid C^{c})=\dfrac{7}{8}.
    • \Pr\text{(C)}=\dfrac{9}{25}.
  • Intuição e fórmula que usamos (explicação da ideia):
    • A probabilidade de M num dia qualquer pode ser obtida somando a probabilidade de M ocorrer em dias chuvosos com a probabilidade de M ocorrer em dias não chuvosos. Isso é uma aplicação da regra da probabilidade total quando \{C, C^{c}\} forma uma partição do espaço amostral.
    • A fórmula da probabilidade total, aplicada aqui, é: \Pr(M)=\Pr(M\mid C)\Pr\text{(C)}+\Pr(M\mid C^{c})\Pr(C^{c}).

Passo 3

Calcular \Pr(C^{c}) (probabilidade de dia não chuvoso) e substituir os valores na fórmula.
  • Como \Pr\text{(C)}=\dfrac{9}{25}, tem-se
    \Pr(C^{c})=1-\Pr\text{(C)}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.
  • Substituindo na fórmula da probabilidade total:
    \Pr(M)=\left(\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{9}{25}\right)+\left(\dfrac{7}{8}\right)\left(\dfrac{16}{25}\right).

Passo 4

Fazer as contas passo a passo, com simplificações fáceis de fazer sem calculadora.
  • Primeiro termo:
    \left(\dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{9}{25}\right)=\dfrac{9}{100}.
  • Segundo termo: simplificar antes de multiplicar, cancelando 8 com 16:
    \left(\dfrac{7}{8}\right)\left(\dfrac{16}{25}\right)=\dfrac{7\cdot 2}{25}=\dfrac{14}{25}.
    Para somar com \dfrac{9}{100}, escreva \dfrac{14}{25} com denominador 100:
    \dfrac{14}{25}=\dfrac{56}{100}.
  • Somando os termos com denominador comum:
    \Pr(M)=\dfrac{9}{100}+\dfrac{56}{100}=\dfrac{65}{100}=\dfrac{13}{20}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para a prova (amigável e prática).
  • Interpretação: a resposta \dfrac{13}{20} é uma média ponderada das probabilidades condicionais \Pr(M\mid C) e \Pr(M\mid C^{c}), ponderadas pelas chances de chuva e não chuva. Em palavras: como há poucos dias chuvosos ( \tfrac{9}{25}) e nesses dias a chance é baixa ( \tfrac{1}{4}), mas nos dias não chuvosos a chance é alta ( \tfrac{7}{8}) e esses dias são mais frequentes ( \tfrac{16}{25}), o resultado final fica entre os dois valores e é \tfrac{13}{20}.
  • Dica para a prova: identifique o evento que particiona o espaço (aqui: chuva / não chuva), calcule o complemento, use a fórmula da probabilidade total e simplifique frações usando cancelamento (como 16/8\to2) para facilitar contas à mão.

Resposta

\dfrac{13}{20}

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