Uma variável aleatória contínua X\) é usada para modelar um fenômeno físico. Por um argumento baseado em limites de variáveis discretas se chegou à seguinte forma para a densidade de probabilidade de \(X\) : \[f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\beta x, & \text { para } 0 \leq x \leq 1 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Além disso, experimentos fixam um valor da distribuição acumulada: F_{X}(1 / 2)=1 / 5\]. a) Com esses dados, obtenha a função de densidade de \(X.
b) Qual é a probabilidade \mathbb{P}(X \in[-1 / 4,1 / 4]) ?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade desconhecida f\) da forma \[f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\beta x, & \text{para } 0 \le x \le 1; \\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
  • (a) Determinar a função densidade f\], isto é, encontrar os valores de \(\alpha e \beta.
  • (b) Calcular \mathbb{P}\bigl(X\in[-1/4,\,1/4]\bigr).
Informações relevantes do enunciado:
  • A densidade é polinomial em [0,1] e zero fora.
  • Foi dado o valor da função de distribuição acumulada em x=1/2: F_X(1/2)=1/5.
  • Uma densidade contínua f deve satisfazer duas condições fundamentais que vamos usar: (i) f(x)\ge0 para todo x (aqui presumimos que os coeficientes produzirão isso no suporte) e (ii) a normalização \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
  • A relação entre densidade e função distribuição é F_X(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t} f(x)\,dx. Como f é zero fora de [0,1], para t\in[0,1] vale F_X(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x)\,dx.
A resolução começa a partir dessas duas igualdades integrais (normalização e valor de F_X(1/2)).]

Passo 2

Vou escrever as duas equações integrais que conectam \alpha e \beta.
  1. Normalização (integral sobre todo o suporte igual a 1):
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(\alpha x^{2}+\beta x\bigr)\,dx = 1.
  1. Valor dado da CDF em x=1/2:
F_X\!\bigl(1/2\bigr)=\int_{0}^{1/2} \bigl(\alpha x^{2}+\beta x\bigr)\,dx = \frac{1}{5}.
Agora vou lembrar as fórmulas básicas de integração que vou usar (aula rápida):
  • \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
  • \displaystyle\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
    Usarei essas antiderivadas para calcular as integrais definidas.

Passo 3

Calcular a integral da normalização usando as antiderivadas:
\int_{0}^{1} \bigl(\alpha x^{2}+\beta x\bigr)\,dx = \alpha\int_{0}^{1} x^{2}\,dx + \beta\int_{0}^{1} x\,dx = \alpha\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} + \beta\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}.
Avalia:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-0=\frac{1}{3}, \qquad \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-0=\frac{1}{2}.
Logo a equação de normalização fica
\frac{1}{3}\alpha + \frac{1}{2}\beta = 1.

Passo 4

Calcular a integral para F_X(1/2)=1/5:
\int_{0}^{1/2} \bigl(\alpha x^{2}+\beta x\bigr)\,dx = \alpha\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2} + \beta\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2}.
Avalia cada termo:
\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1/2}=\frac{(1/2)^{3}}{3}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{24},
\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2}=\frac{(1/2)^{2}}{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}.
Portanto a segunda equação é
\frac{1}{24}\alpha + \frac{1}{8}\beta = \frac{1}{5}.

Passo 5

Agora temos o sistema linear em \alpha,\beta\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{3}\alpha + \frac{1}{2}\beta = 1,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{24}\alpha + \frac{1}{8}\beta = \frac{1}{5}. \end{cases}
Para resolver, multiplico a primeira equação por 6\] (para eliminar denominadores) e a segunda por \[24:
\begin{cases} 2\alpha + 3\beta = 6,\\[4pt] \alpha + 3\beta = \dfrac{24}{5}. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira obtemos:
(2\alpha+3\beta)-(\alpha+3\beta) = 6 - \frac{24}{5} \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{30}{5}-\frac{24}{5}=\frac{6}{5}.
Substituindo \alpha=\dfrac{6}{5}\] em \(\alpha+3\beta=\dfrac{24}{5}:
\frac{6}{5} + 3\beta = \frac{24}{5} \quad\Rightarrow\quad 3\beta = \frac{18}{5} \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{6}{5}.]

Passo 6

Achamos \alpha=\dfrac{6}{5} e \beta=\dfrac{6}{5}. Isso determina a densidade em [0,1]:
f(x)=\frac{6}{5}\bigl(x^{2}+x\bigr),\quad 0\le x\le1,
e f(x)=0 fora de [0,1].
(Não esquecer: é bom checar rapidamente se a função é não-negativa no suporte — aqui x^{2}+x\ge 0 para x\in[0,1], então OK.)

Passo 7

Agora a probabilidade pedida: \mathbb{P}\bigl(X\in[-1/4,\,1/4]\bigr).
Observação importante sobre suporte: a densidade é zero para x<0. O intervalo [-1/4,\,1/4] intersecta o suporte [0,1] apenas em [0,\,1/4]. Logo
\mathbb{P}\bigl(X\in[-1/4,\,1/4]\bigr)=\int_{-1/4}^{1/4} f(x)\,dx = \int_{0}^{1/4} f(x)\,dx.

Passo 8

Calcular a integral com os coeficientes obtidos:
\int_{0}^{1/4} f(x)\,dx = \int_{0}^{1/4} \frac{6}{5}\bigl(x^{2}+x\bigr)\,dx = \frac{6}{5}\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/4}.
Avalia no ponto x=\dfrac{1}{4}:
\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2} \Bigg|_{x=1/4} = \frac{1}{64}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{192} + \frac{1}{32}.
Colocando sobre denominador comum 192:
\frac{1}{192} + \frac{1}{32} = \frac{1}{192} + \frac{6}{192} = \frac{7}{192}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{6}{5}:
\frac{6}{5}\cdot\frac{7}{192} = \frac{42}{960} = \frac{7}{160}.
Como verificação numérica rápida, \dfrac{7}{160}=0,04375.

Resposta

(a) f(x)=\displaystyle \begin{cases}\dfrac{6}{5}\bigl(x^{2}+x\bigr), & 0\le x\le1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
(b) \mathbb{P}\bigl(X\in[-1/4,\,1/4]\bigr)=\dfrac{7}{160}]

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