Uma variável aleatória contínua X\) é usada para modelar um fenômeno físico. Por um argumento baseado em limites de variáveis discretas se chegou à seguinte forma para a densidade de probabilidade de \(X\) :
\[f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\beta x, & \text { para } 0 \leq x \leq 1 ; \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Além disso, experimentos fixam um valor da distribuição acumulada: F_{X}(1 / 2)=1 / 5\].
a) Com esses dados, obtenha a função de densidade de \(X.
b) Qual é a probabilidade \mathbb{P}(X \in[-1 / 4,1 / 4]) ?
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade desconhecida f\) da forma
\[f(x)= \begin{cases}\alpha x^{2}+\beta x, & \text{para } 0 \le x \le 1; \\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar a função densidade f\], isto é, encontrar os valores de \(\alpha e \beta.
Foi dado o valor da função de distribuição acumulada em x=1/2: F_X(1/2)=1/5.
Uma densidade contínua f deve satisfazer duas condições fundamentais que vamos usar: (i) f(x)\ge0 para todo x (aqui presumimos que os coeficientes produzirão isso no suporte) e (ii) a normalização \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.
A relação entre densidade e função distribuição é F_X(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t} f(x)\,dx. Como f é zero fora de [0,1], para t\in[0,1] vale F_X(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x)\,dx.
A resolução começa a partir dessas duas igualdades integrais (normalização e valor de F_X(1/2)).]
Passo 2
Vou escrever as duas equações integrais que conectam \alpha e \beta.
Normalização (integral sobre todo o suporte igual a 1):
(Não esquecer: é bom checar rapidamente se a função é não-negativa no suporte — aqui x^{2}+x\ge 0 para x\in[0,1], então OK.)
Passo 7
Agora a probabilidade pedida: \mathbb{P}\bigl(X\in[-1/4,\,1/4]\bigr).
Observação importante sobre suporte: a densidade é zero para x<0. O intervalo [-1/4,\,1/4] intersecta o suporte [0,1] apenas em [0,\,1/4]. Logo