Considere duas urnas e três moedas. A primeira urna tem 9 bolas brancas e 5 bolas pretas. A segunda
urna tem 3 bolas brancas e 8 bolas pretas. Cada moeda tem dois lados (cara e coroa); suponha que os dois sejam equiprováveis em um lançamento. Suponha também que o resultado de lançamentos das moedas sejam eventos independentes.
As três moedas serão lançadas, e caso as três moedas mostrem a mesma face, a primeira urna é selecionada, e uma bola é extraída aleatoriamente; caso contrário, a segunda urna é selecionada, e uma bola é extraída aleatoriamente. Considere X como o número de bolas brancas extraídas.
Qual é a probabilidade do evento \{X=1\} ?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Urna 1: há 9 bolas brancas e 5 bolas pretas.
  • Urna 2: há 3 bolas brancas e 8 bolas pretas.
  • Três moedas são lançadas; cada moeda tem faces equiprováveis e os lançamentos são independentes.
  • Regra de seleção da urna:
    • Se as três moedas mostrarem a mesma face (todas caras ou todas coroas), escolhe-se a primeira urna e então se extrai uma bola aleatoriamente dessa urna.
    • Caso contrário, escolhe-se a segunda urna e então se extrai uma bola aleatoriamente dessa urna.
  • A variável aleatória X é o número de bolas brancas extraídas. Como só se extrai uma bola, X só pode assumir os valores 0 ou 1.
  • O que se pede: calcular a probabilidade do evento \{X=1\}, ou seja, a probabilidade de que a bola extraída seja branca.

Passo 2

Calcular a probabilidade de escolher cada urna com base nos lançamentos das moedas.
  • Probabilidade de todas as três moedas darem cara: cada moeda tem probabilidade \tfrac{1}{2} de cara e os lançamentos são independentes, logo
P(\text{todas caras})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
  • Probabilidade de todas as três moedas darem coroa: pelo mesmo raciocínio,
P(\text{todas coroas})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.
  • O evento “as três moedas mostram a mesma face” é a união disjunta de “todas caras” e “todas coroas”, então
P(\text{mesma face})=P(\text{todas caras})+P(\text{todas coroas})=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{4}.
Portanto a probabilidade de selecionar a primeira urna é \tfrac{1}{4}. A probabilidade de selecionar a segunda urna é o complemento:
P(\text{segunda urna})=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Calcular as probabilidades condicionais de extrair uma bola branca em cada urna.
  • Se a primeira urna é selecionada, a probabilidade de extrair uma bola branca é a proporção de brancas na urna 1:
P(\text{branca}\mid\text{urna 1})=\frac{9}{9+5}=\frac{9}{14}.
Explicação didática: ao extrair uma bola aleatoriamente, cada bola tem a mesma chance; assim a probabilidade é o número de bolas favoráveis dividido pelo total de bolas.
  • Se a segunda urna é selecionada, a probabilidade de extrair uma bola branca é a proporção de brancas na urna 2:
P(\text{branca}\mid\text{urna 2})=\frac{3}{3+8}=\frac{3}{11}.

Passo 4

Aplicar a Lei da Probabilidade Total para condicionar pela urna selecionada.
A Lei da Probabilidade Total diz que, se \{A,B\} é uma partição do espaço (aqui: selecionar urna 1 ou urna 2), então para qualquer evento E
P(E)=P(A)P(E\mid A)+P(B)P(E\mid B).
Aqui escolhemos E=\{\text{bola branca}\}=\{X=1\}, A=\{\text{urna 1}\} e B=\{\text{urna 2}\}. Assim
P(X=1)=P(\text{urna 1})\cdot P(\text{branca}\mid\text{urna 1})+P(\text{urna 2})\cdot P(\text{branca}\mid\text{urna 2}).
Substituindo os valores já obtidos:
P(X=1)=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{9}{14}+\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{3}{11}.
Fazendo as multiplicações:
\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{9}{14}=\tfrac{9}{56},\qquad \tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{3}{11}=\tfrac{9}{44}.
Somando as frações: o mínimo múltiplo comum entre 56 e 44 é 616. Convertendo:
\tfrac{9}{56}=\tfrac{9\cdot 11}{616}=\tfrac{99}{616},\qquad \tfrac{9}{44}=\tfrac{9\cdot 14}{616}=\tfrac{126}{616}.
Somando os numeradores:
\tfrac{99}{616}+\tfrac{126}{616}=\tfrac{225}{616}.

Passo 5

Interpretação curta e ânimo: a fração \tfrac{225}{616} é a probabilidade de tirar uma bola branca seguindo a regra dada. É um número entre 0 e 1; em forma decimal aproximada é cerca de 0,365. Vai dar tudo certo na prova — foco nas coisas simples como particionar o espaço pelo que acontece primeiro (aqui, qual urna é escolhida) e aplicar a probabilidade condicional.

Resposta

\dfrac{225}{616}

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