Considere duas urnas e três moedas. A primeira urna tem 9 bolas brancas e 5 bolas pretas. A segunda
urna tem 3 bolas brancas e 8 bolas pretas. Cada moeda tem dois lados (cara e coroa); suponha que os dois sejam equiprováveis em um lançamento. Suponha também que o resultado de lançamentos das moedas sejam eventos independentes.
As três moedas serão lançadas, e caso as três moedas mostrem a mesma face, a primeira urna é selecionada, e uma bola é extraída aleatoriamente; caso contrário, a segunda urna é selecionada, e uma bola é extraída aleatoriamente. Considere
como o número de bolas brancas extraídas.
Qual é a probabilidade do evento
?
urna tem 3 bolas brancas e 8 bolas pretas. Cada moeda tem dois lados (cara e coroa); suponha que os dois sejam equiprováveis em um lançamento. Suponha também que o resultado de lançamentos das moedas sejam eventos independentes.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Urna 1: há
bolas brancas e bolas pretas. - Urna 2: há
bolas brancas e bolas pretas. - Três moedas são lançadas; cada moeda tem faces equiprováveis e os lançamentos são independentes.
- Regra de seleção da urna:
- Se as três moedas mostrarem a mesma face (todas caras ou todas coroas), escolhe-se a primeira urna e então se extrai uma bola aleatoriamente dessa urna.
- Caso contrário, escolhe-se a segunda urna e então se extrai uma bola aleatoriamente dessa urna.
- A variável aleatória
é o número de bolas brancas extraídas. Como só se extrai uma bola, só pode assumir os valores ou . - O que se pede: calcular a probabilidade do evento
, ou seja, a probabilidade de que a bola extraída seja branca.
Passo 2
Calcular a probabilidade de escolher cada urna com base nos lançamentos das moedas.
- Probabilidade de todas as três moedas darem cara: cada moeda tem probabilidade
de cara e os lançamentos são independentes, logo
- Probabilidade de todas as três moedas darem coroa: pelo mesmo raciocínio,
- O evento “as três moedas mostram a mesma face” é a união disjunta de “todas caras” e “todas coroas”, então
Portanto a probabilidade de selecionar a primeira urna é
. A probabilidade de selecionar a segunda urna é o complemento:
Passo 3
Calcular as probabilidades condicionais de extrair uma bola branca em cada urna.
- Se a primeira urna é selecionada, a probabilidade de extrair uma bola branca é a proporção de brancas na urna 1:
Explicação didática: ao extrair uma bola aleatoriamente, cada bola tem a mesma chance; assim a probabilidade é o número de bolas favoráveis dividido pelo total de bolas.
- Se a segunda urna é selecionada, a probabilidade de extrair uma bola branca é a proporção de brancas na urna 2:
Passo 4
Aplicar a Lei da Probabilidade Total para condicionar pela urna selecionada.
A Lei da Probabilidade Total diz que, se
é uma partição do espaço (aqui: selecionar urna 1 ou urna 2), então para qualquer evento
Aqui escolhemos
,
e
. Assim
Substituindo os valores já obtidos:
Fazendo as multiplicações:
Somando as frações: o mínimo múltiplo comum entre
e
é
. Convertendo:
Somando os numeradores:
Passo 5
Interpretação curta e ânimo: a fração
é a probabilidade de tirar uma bola branca seguindo a regra dada. É um número entre
e
; em forma decimal aproximada é cerca de
. Vai dar tudo certo na prova — foco nas coisas simples como particionar o espaço pelo que acontece primeiro (aqui, qual urna é escolhida) e aplicar a probabilidade condicional.