Sabe-se que a resistência elétrica de um fio cilíndrico é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional a área de sua seção reta?
(a) O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: A resistência elétrica de um fio cilíndrico é diretamente proporcional ao seu comprimento.
  • Informação 2: A resistência elétrica é inversamente proporcional à área da sua seção reta.
  • Pergunta: O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento?

Passo 2

Vamos escrever matematicamente a ideia de proporcionalidade dada. Dizer que a resistência é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional à área significa que, para uma mesma amostra do material, a resistência varia como a razão comprimento sobre área. Em notação matemática isso se escreve:
R \propto \frac{L}{A}
onde:
  • R é a resistência elétrica do fio;
  • L é o comprimento do fio;
  • A é a área da seção reta do fio.
Aqui o símbolo \propto quer dizer “é proporcional a”.

Passo 3

Para transformar a proporcionalidade em uma igualdade usamos uma constante de proporcionalidade. No caso elétrico essa constante é a resistividade do material, que habitualmente chamamos de \rho. Assim obtemos a fórmula conhecida:
R = \rho\,\frac{L}{A}
Explicando cada parte:
  • \rho é a resistividade do material (depende do material e tem unidades que combinam para dar ohms);
  • \dfrac{L}{A} é a razão entre comprimento e área que controla como a geometria afeta R.

Passo 4

Agora aplicamos a mudança pedida: triplicar o comprimento. Se o comprimento inicial é L, o novo comprimento é
L' = 3L.
Mantendo a mesma seção (mesma A) e o mesmo material (mesma \rho), a nova resistência R' vale
R' = \rho\,\frac{L'}{A} = \rho\,\frac{3L}{A}.

Passo 5

Continuando a simplificação da expressão anterior:
R' = \rho\,\frac{3L}{A} = 3\left(\rho\,\frac{L}{A}\right).
Mas \rho\,\dfrac{L}{A} é justamente a resistência inicial R. Portanto
R' = 3R.
Interpretação: ao triplicar o comprimento do fio (mantendo área e material iguais), a resistência fica três vezes maior. Um jeito concreto de ver isso: se antes R=2{,}0\\ \Omega, depois será R'=6{,}0\\ \Omega.

Resposta

A resistência triplica: R' = 3R.

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