Sabe-se que a resistência elétrica de um fio cilíndrico é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional a área de sua seção reta?
(a) O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento?
(a) O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: A resistência elétrica de um fio cilíndrico é diretamente proporcional ao seu comprimento.
- Informação 2: A resistência elétrica é inversamente proporcional à área da sua seção reta.
- Pergunta: O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento?
Passo 2
Vamos escrever matematicamente a ideia de proporcionalidade dada. Dizer que a resistência é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional à área significa que, para uma mesma amostra do material, a resistência varia como a razão comprimento sobre área. Em notação matemática isso se escreve:
onde:
-
é a resistência elétrica do fio; -
é o comprimento do fio; -
é a área da seção reta do fio.
Aqui o símbolo
quer dizer “é proporcional a”.
Passo 3
Para transformar a proporcionalidade em uma igualdade usamos uma constante de proporcionalidade. No caso elétrico essa constante é a resistividade do material, que habitualmente chamamos de
. Assim obtemos a fórmula conhecida:
Explicando cada parte:
-
é a resistividade do material (depende do material e tem unidades que combinam para dar ohms); -
é a razão entre comprimento e área que controla como a geometria afeta .
Passo 4
Agora aplicamos a mudança pedida: triplicar o comprimento. Se o comprimento inicial é
, o novo comprimento é
Mantendo a mesma seção (mesma
) e o mesmo material (mesma
), a nova resistência
vale
Passo 5
Continuando a simplificação da expressão anterior:
Mas
é justamente a resistência inicial
. Portanto
Interpretação: ao triplicar o comprimento do fio (mantendo área e material iguais), a resistência fica três vezes maior. Um jeito concreto de ver isso: se antes
, depois será
.
Resposta
A resistência triplica:
.