Sabe-se que um solo contém 52,30 \mathrm{ppm} de potássio. Um analista efetuou a análise desse solo por três métodos diferentes e obteve os seguintes resultados:
Método 1: 75,97; 24,98; 19,87; 32,57; 56,78
Método 2: 52,28; 51,99; 52,34; 52,54; 51,98
Método 3: 44,87; 44,80; 44,85; 44,78; 44,82
Compare os métodos utilizados e classifique-os quanto a exatidão e precisão.

Passo 1

O enunciado dá a composição verdadeira do solo e três conjuntos de medições realizadas por um analista. Ele pede que eu compare os três métodos e os classifique quanto à exatidão e à precisão.
Dados fornecidos:
\text{Valor verdadeiro: } 52,30\\ \text{ppm}
\text{Método 1: } 75,97;\\\ 24,98;\\\ 19,87;\\\ 32,57;\\\ 56,78é
\text{Método 2: } 52,28;\\\ 51,99;\\\ 52,34;\\\ 52,54;\\\ 51,98é
\text{Método 3: } 44,87;\\\ 44,80;\\\ 44,85;\\\ 44,78;\\\ 44,82é
O que preciso entregar:
  • Para cada método, dizer se é preciso ou impreciso e se é exato ou inexato, justificando com cálculos.

Passo 2

Vou explicar os conceitos e as fórmulas que vou usar, de forma bem didática.
Definições:
  • Exatidão (accuracy): quão perto está a média das medições do valor verdadeiro. Uma medida prática de exatidão é o viés (bias):
\text{viés} = \bar{x} - x_{\text{verdadeiro}}é
onde \bar{x} é a média das medições e x_{\text{verdadeiro}} é o valor aceito como correto.
  • Precisão (precision): quão próximas entre si são as medições, independentemente de estarem perto do valor verdadeiro. Uma medida prática de precisão é o desvio-padrão amostral s:
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
Explicando as letras:
  • x_i são as medições individuais.
  • n é o número de medições (aqui n=5 para cada método).
  • \bar{x} é a média das medições.
  • x_{\text{verdadeiro}} é o valor conhecido ( 52,30\\ \text{ppm}).
Raciocínio prático para a prova:
  1. Calcule \bar{x} usando \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i.
  2. Calcule o viés \bar{x}-x_{\text{verdadeiro}} (valor absoluto do viés para julgar exatidão).
  3. Calcule s pela fórmula acima para julgar a precisão (quanto menor s, mais preciso).
  4. Compare: pequeno viés → exato; grande viés → inexato. Pequeno s → preciso; grande s → impreciso.

Passo 3

Calculo das médias ( \bar{x}) de cada método (faça esses passos na prova — é rápido e essencial).
Método 1:
\bar{x}_1 = \frac{75,97+24,98+19,87+32,57+56,78}{5} = \frac{210,17}{5} = 42,034
Método 2:
\bar{x}_2 = \frac{52,28+51,99+52,34+52,54+51,98}{5} = \frac{261,13}{5} = 52,226
Método 3:
\bar{x}_3 = \frac{44,87+44,80+44,85+44,78+44,82}{5} = \frac{224,12}{5} = 44,824

Passo 4

Calculo do viés (diferença entre a média e o valor verdadeiro 52,30\\ \text{ppm}). Uso a forma \text{viés}=\bar{x}-52,30é e também o valor absoluto para julgar exatidão.
Método 1:
\text{viés}_1 = 42,034 - 52,30 = -10,266 \quad (\text{erro absoluto }=10,266\\ \text{ppm})é
Método 2:
\text{viés}_2 = 52,226 - 52,30 = -0,074 \quad (\text{erro absoluto }=0,074\\ \text{ppm})é
Método 3:
\text{viés}_3 = 44,824 - 52,30 = -7,476 \quad (\text{erro absoluto }=7,476\\ \text{ppm})é
Interpretação prática: menor erro absoluto → mais exato. Aqui o Método 2 tem viés muito pequeno; Métodos 1 e 3 têm viés considerável (tendem a subestimar).

Passo 5

Calculo do desvio-padrão amostral s para cada método (passo a passo das contas).
Fórmula recordando:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2},\quad n=5
Método 1: já tínhamos as diferenças x_i-\bar{x}_1:
33,936;\\\ -17,054;\\\ -22,164;\\\ -9,464;\\\ 14,746
Quadrados (já calculados):
33,936^2=1151,652096,\quad 17,054^2=290,838916,
22,164^2=491,242896,\quad 9,464^2=89,567296,\quad 14,746^2=217,444516
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_1)^2 = 2240,74572
Variância amostral:
s_1^2 = \frac{2240,74572}{4} = 560,18643
Desvio-padrão:
s_1 = \sqrt{560,18643}\approx 23,676\\ \text{ppm}
Método 2: diferenças x_i-\bar{x}_2:
0,054;\\\ -0,236;\\\ 0,114;\\\ 0,314;\\\ -0,246
Quadrados e soma:
\sum (x_i-\bar{x}_2)^2 \approx 0,23072
Variância:
s_2^2 = \frac{0,23072}{4} = 0,05768
Desvio-padrão:
s_2 = \sqrt{0,05768}\approx 0,240\\ \text{ppm}
Método 3: diferenças x_i-\bar{x}_3:
0,046;\\\ -0,024;\\\ 0,026;\\\ -0,044;\\\ -0,004
Quadrados e soma:
\sum (x_i-\bar{x}_3)^2 \approx 0,00532
Variância:
s_3^2 = \frac{0,00532}{4} = 0,00133
Desvio-padrão:
s_3 = \sqrt{0,00133}\approx 0,037\\ \text{ppm}
Interpretação prática: menor s → maior precisão. Aqui s_3\ll s_2\ll s_1.

Passo 6

Juntando exatidão (viés) e precisão (desvio-padrão) para classificar:
  • Método 1: \bar{x}_1=42,034 longe de 52,30 (viés grande \approx -10,266\\ \text{ppm}) e desvio-padrão grande s_1\approx 23,676\\ \text{ppm}. Conclusão: impreciso e inexato (nem acerta nem é consistente).
  • Método 2: \bar{x}_2=52,226 muito próximo de 52,30 (viés pequeno \approx -0,074\\ \text{ppm}) e desvio-padrão pequeno s_2\approx 0,240\\ \text{ppm}. Conclusão: exato e preciso (bom método).
  • Método 3: \bar{x}_3=44,824 distante de 52,30 (viés grande \approx -7,476\\ \text{ppm}), porém desvio-padrão muito pequeno s_3\approx 0,037\\ \text{ppm}. Conclusão: muito preciso, mas inexato — tem um viés sistemático (consistente, porém deslocado).

Passo 7

Comentário final motivador: na prova você pode resumir isso calculando rapidamente médias, viés e desvio-padrão (ou até comparando visualmente dispersão e distância ao valor verdadeiro). Método 2 é claramente o melhor: tanto preciso quanto exato. Método 3 é “bom” nas repetições (muito consistente) mas falha em acertar o valor verdadeiro (erro sistemático). Método 1 é ruim nas duas dimensões.

Resposta

Método 1: impreciso e inexato
Método 2: preciso e exato
Método 3: muito preciso e inexato

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