Sabe-se que tensão nos terminais de um capacitor de 5 mu F é vc=500 t e^-2.500 t V para t >= 0.
Determine a energia máxima armazenada no capacitor e o instante em que ela ocorre.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um capacitor de vc(t) = 500,t,e^-2500,t (t>=0) cuja tensão é
O que a gente quer é a energia máxima que fica armazenada nesse capacitor e em que instante isso rola. O conteúdo aqui é:
  • Fórmula da energia num capacitor: .
  • Máximos de funções (derivada igual a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a energia em função do tempo usando
E(t) = 12,C,l[vc(t)r]^2
Substituindo E(t) = 12,(5times10^-6),(500,t,e^-2500t)^2 = 12cdot5times10^-6cdot250000;t^2,e^-5000t e 12cdot5times10^-6cdot250000 = 0.625, , a gente tem
boxedE(t) = 0.625;t^2,e^-5000t(em jou<=s)
Podemos simplificar a constante:
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Passo 3

Pra achar o máximo de E'(t) = ddtl[0.625,t^2,e^-5000tr] , calculamos a derivada e igualamos a zero:
E'(t) = 0.625l(2t,e^-5000t + t^2,(e^-5000t)' r) =0.625,e^-5000tl(2t - 5000,t^2r)
Usamos produto e cadeia:
E'(t) = 0.625,e^-5000t,t,(2 - 5000t)
Colocando em evidência 2 - 5000t = 0;Longrightarrow;t = 25000 = 0.0004;s :
Para , temos soluções (mínimo) ou

Passo 4

Então o instante do pico de energia é
boxedtmax = 4.0times10^-4 s = 0.4 ms

Passo 5

Basta agora colocar t^2 = (4.0times10^-4)^2 = 1.6times10^-7, e^-5000cdot0.0004=e^-2approx0.1353 em Emax = 0.625 times 1.6times10^-7times0.1353 approx 1.35times10^-8;J :
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Resposta

Energia máxima J, ocorrendo em ms.

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