Sabe-se que u(x, t)=e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L^{2}} \cos (n \pi x / L), n=0,1,2, \cdots é solução de um problema com condição inicial
u(x, 0)=\cos (n \pi x / L) t
Resolva o mesmo problema, com \alpha=1, L=3 e condição inicial
u(x, 0)=3 \cos (\pi x)-7 \cos (\pi x / 3)-3

Passo 1

O enunciado dá que a família
u(x,t)=e^{-n^{2}\pi^{2}\alpha^{2}t/L^{2}}\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr),\qquad n=0,1,2,\dots
é solução de um problema cujo condição inicial simples é u(x,0)=\cos(n\pi x/L).
Pede-se: resolver o mesmo problema com \alpha=1, L=3 e condição inicial
u(x,0)=3\cos(\pi x)-7\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr)-3.
Informações relevantes dadas:
  • A família de funções acima (modos \cos(n\pi x/L) multiplicados por exponenciais) são soluções elementares do PDE considerado.
  • Os parâmetros a usar são \alpha=1 e L=3.
  • A condição inicial já está escrita como combinação linear de cossenos e de uma constante (que corresponde ao modo n=0).
    A tarefa é encontrar u(x,t) que satisfaça essa condição inicial usando a família fornecida.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e por que funciona). O PDE é linear (a família dada sugere que se trata do problema do calor com modos próprios do espaço). Quando um PDE é linear, qualquer combinação linear de soluções também é solução — isso é a propriedade da superposição. Portanto, podemos procurar uma solução como soma finita (ou série) dos modos dados:
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{-n^{2}\pi^{2}\alpha^{2}t/L^{2}}\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr),
onde os A_n são constantes que determinamos impondo a condição inicial. Aqui:
  • \,n é o índice do modo espacial (inteiro não-negativo),
  • \,A_n é o coeficiente do modo n (valor a ser encontrado),
  • \alpha é o parâmetro de difusividade (aqui \alpha=1),
  • L é o comprimento do domínio (aqui L=3).
    O modo n=0 corresponde a \cos(0)=1, ou seja, à componente constante da solução (essa componente não decai com o tempo porque o fator exponencial para n=0 é e^{0}=1).

Passo 3

Aplicando a condição inicial. Colocando t=0 na solução geral obtemos
u(x,0)=\sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
A condição inicial dada é
u(x,0)=3\cos(\pi x)-7\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr)-3.
Agora identificamos os termos com os modos \cos(n\pi x/L) para L=3:
  • Para L=3 temos \cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr).
  • O termo -7\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr) corresponde a n=1 (pois n\pi x/3=\pi x/3 quando n=1), então A_1=-7.
  • O termo 3\cos(\pi x) pode ser escrito como 3\cos\!\bigl(3\pi x/3\bigr), ou seja corresponde a n=3, então A_3=3.
  • O termo constante -3 corresponde a n=0 (pois \cos(0)=1), então A_0=-3.
  • Todos os demais coeficientes A_n (para n\neq 0,1,3) são zero.
    Como a condição inicial já estava dada diretamente na base \{\cos(n\pi x/3)\}, não precisamos calcular integrais de ortogonalidade — podemos simplesmente igualar coeficientes.

Passo 4

Montando a solução com \alpha=1, L=3 e os A_n encontrados. A expressão geral é
u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} A_n e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr),
pois \alpha^{2}/L^{2}=1/9. Substituindo somente os modos não nulos n=0,1,3 com A_0=-3, A_1=-7, A_3=3, obtemos
u(x,t)=A_0\cdot 1 + A_1 e^{-{1^{2}\pi^{2}t}/{9}}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr) + A_3 e^{-{3^{2}\pi^{2}t}/{9}}\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{3}\bigr).
Agora simplificamos os expoentes e os cossenos:
  • Para n=0: A_0=-3 e o fator exponencial é e^{0}=1.
  • Para n=1: o expoente é -\pi^{2}t/9.
  • Para n=3: o expoente é -9\pi^{2}t/9=-\pi^{2}t, e \cos(3\pi x/3)=\cos(\pi x).
    Logo
u(x,t)=-3 \;-\;7\,e^{-{\pi^{2}t}/{9}}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr) \;+\;3\,e^{-\pi^{2}t}\cos(\pi x).

Passo 5

Verificação rápida (controle de consistência): ao tomar t=0 na solução encontrada temos
u(x,0)=-3 -7\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr) + 3\cos(\pi x),
que é exatamente a condição inicial dada (apenas reordenada). Então a solução está consistente com a condição inicial. Parabéns — você acabou de montar a solução usando superposição de modos e identificação direta dos coeficientes!

Resposta

u(x,t)=-3 \;-\;7\,e^{-{\pi^{2}t}/{9}}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{3}\bigr) \;+\;3\,e^{-\pi^{2}t}\cos(\pi x).

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