Sabe-se que
é solução de um problema com condição inicial
Resolva o mesmo problema, com
e condição inicial
Passo 1
O enunciado dá que a família
é solução de um problema cujo condição inicial simples é
.
Pede-se: resolver o mesmo problema com ,
e condição inicial
Pede-se: resolver o mesmo problema com
Informações relevantes dadas:
- A família de funções acima (modos
multiplicados por exponenciais) são soluções elementares do PDE considerado. - Os parâmetros a usar são
e . - A condição inicial já está escrita como combinação linear de cossenos e de uma constante (que corresponde ao modo
).
A tarefa é encontrarque satisfaça essa condição inicial usando a família fornecida.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e por que funciona). O PDE é linear (a família dada sugere que se trata do problema do calor com modos próprios do espaço). Quando um PDE é linear, qualquer combinação linear de soluções também é solução — isso é a propriedade da superposição. Portanto, podemos procurar uma solução como soma finita (ou série) dos modos dados:
onde os
são constantes que determinamos impondo a condição inicial. Aqui:
-
é o índice do modo espacial (inteiro não-negativo), -
é o coeficiente do modo (valor a ser encontrado), -
é o parâmetro de difusividade (aqui ), -
é o comprimento do domínio (aqui ).
O modocorresponde a , ou seja, à componente constante da solução (essa componente não decai com o tempo porque o fator exponencial para é ).
Passo 3
Aplicando a condição inicial. Colocando
na solução geral obtemos
A condição inicial dada é
Agora identificamos os termos com os modos
para
:
- Para
temos . - O termo
corresponde a (pois quando ), então . - O termo
pode ser escrito como , ou seja corresponde a , então . - O termo constante
corresponde a (pois ), então . - Todos os demais coeficientes
(para ) são zero.
Como a condição inicial já estava dada diretamente na base, não precisamos calcular integrais de ortogonalidade — podemos simplesmente igualar coeficientes.
Passo 4
Montando a solução com
,
e os
encontrados. A expressão geral é
pois
. Substituindo somente os modos não nulos
com
,
,
, obtemos
Agora simplificamos os expoentes e os cossenos:
- Para
: e o fator exponencial é . - Para
: o expoente é . - Para
: o expoente é , e .
Logo
Passo 5
Verificação rápida (controle de consistência): ao tomar
na solução encontrada temos
que é exatamente a condição inicial dada (apenas reordenada). Então a solução está consistente com a condição inicial. Parabéns — você acabou de montar a solução usando superposição de modos e identificação direta dos coeficientes!