Utilize a solução de D’Alembert u(x, t)=\Phi(x-a t)+\Psi(x+a t) para resolver o problema
\left\{\begin{array}{l} 4 \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}} \\\ u(x, 0)=\cos (x), \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=x \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação de onda
4\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}
com condições iniciais
u(x,0)=\cos(x),\qquad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=x.
As informações relevantes são: a PDE dada (forma típica de equação da onda com alguma velocidade), e as duas condições iniciais que especificam u e u_t em t=0. O objetivo é encontrar a solução u(x,t) que satisfaça a PDE e essas condições.

Passo 2

Apresento a solução de D’Alembert postulada no enunciado:
u(x,t)=\Phi(x-a t)+\Psi(x+a t),
onde \Phi e \Psi são funções duas vezes deriváveis que vamos determinar, e a é a velocidade de propagação (um número real positivo). Vou calcular a comparando a forma geral com a PDE dada. Primeiro calculemos as derivadas necessárias (fazendo \xi=x-at e \eta=x+at):

Passo 3

Derivadas:
\frac{\partial u}{\partial x}=\Phi'(\xi)+\Psi'(\eta),
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\Phi''(\xi)+\Psi''(\eta),
\frac{\partial u}{\partial t}=-a\Phi'(\xi)+a\Psi'(\eta),
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\Phi''(\xi)+a^{2}\Psi''(\eta)=a^{2}\big(\Phi''(\xi)+\Psi''(\eta)\big).

Passo 4

Substituindo na PDE 4u_{xx}=u_{tt} obtemos
4\big(\Phi''(\xi)+\Psi''(\eta)\big)=a^{2}\big(\Phi''(\xi)+\Psi''(\eta)\big).
Para que isso valha para funções gerais \Phi'',\Psi'' precisamos que
a^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad a=2
(tomamos a=2 como velocidade positiva).

Passo 5

Agora imponho as condições iniciais com a=2. Em t=0 temos \xi=\eta=x, logo
u(x,0)=\Phi(x)+\Psi(x)=\cos(x).
Para a derivada temporal em t=0:
u_t(x,0)=-2\Phi'(x)+2\Psi'(x)=x.
Dividindo por 2 fica
-\Phi'(x)+\Psi'(x)=\frac{x}{2}.

Passo 6

Temos, portanto, o sistema para \Phi\) e \(\Psi\): \[\begin{cases} \Phi(x)+\Psi(x)=\cos(x),\\[4pt] \Phi'(x)+\Psi'(x)=-\sin(x)\quad(\text{derivando a primeira}),\\[4pt] -\Phi'(x)+\Psi'(x)=\dfrac{x}{2}. \end{cases}
Usei a derivada da primeira equação para obter (\Phi’+\Psi’=-\sin x].]

Passo 7

Resolvendo o sistema linear para \Phi' e \Psi': some as duas equações que envolvem derivadas:
(\Phi'+\Psi')+(-\Phi'+\Psi') = -\sin x + \frac{x}{2} \quad\Rightarrow\quad 2\Psi'(x)=\frac{x}{2}-\sin x.
Assim
\Psi'(x)=\frac{x}{4}-\frac{1}{2}\sin x.
Subtraindo as mesmas equações para obter \Phi':
(\Phi'+\Psi')-(-\Phi'+\Psi') = -\sin x - \frac{x}{2} \quad\Rightarrow\quad 2\Phi'(x)=-\sin x-\frac{x}{2},
logo
\Phi'(x)=-\frac{x}{4}-\frac{1}{2}\sin x.

Passo 8

Integramos \Phi' e \Psi' em x. Obtém-se (incluso constante de integração)
\Phi(x)=-\frac{x^{2}}{8}+\frac{1}{2}\cos x+C_{1},
\Psi(x)=\frac{x^{2}}{8}+\frac{1}{2}\cos x+C_{2},
porque \int -\tfrac{1}{2}\sin x\,dx=\tfrac{1}{2}\cos x e \int \mp \tfrac{x}{4}\,dx=\mp \tfrac{x^{2}}{8}.

Passo 9

Usamos a condição \Phi(x)+\Psi(x)=\cos x para relacionar C_{1} e C_{2}:
\Phi(x)+\Psi(x)=\Big(-\frac{x^{2}}{8}+\frac{1}{2}\cos x+C_{1}\Big)+\Big(\frac{x^{2}}{8}+\frac{1}{2}\cos x+C_{2}\Big)=\cos x + (C_{1}+C_{2}).
Para que isso seja igual a \cos x para todo x precisamos de
C_{1}+C_{2}=0.
Como as constantes aparecem com sinais opostos na soma, podemos escolher (sem perda de generalidade para a solução final) C_{1}=C_{2}=0 ou qualquer par com soma zero — elas acabam cancelando na solução u. Para simplicidade tomo C_{1}=C_{2}=0.

Passo 10

Agora construo a solução:
u(x,t)=\Phi(x-2t)+\Psi(x+2t).
Substituindo \Phi e \Psi (com C_{1}=C_{2}=0):
u(x,t)=-\frac{(x-2t)^{2}}{8}+\frac{1}{2}\cos(x-2t)+\frac{(x+2t)^{2}}{8}+\frac{1}{2}\cos(x+2t).

Passo 11

Simplifico a parte polinomial:
\frac{(x+2t)^{2}-(x-2t)^{2}}{8}=\frac{8xt}{8}=xt.
Assim
u(x,t)=xt+\frac{1}{2}\big(\cos(x-2t)+\cos(x+2t)\big).

Passo 12

Uso a identidade trigonométrica \cos A+\cos B=2\cos\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big) com A=x-2t e B=x+2t. Então
\cos(x-2t)+\cos(x+2t)=2\cos x\cos 2t.
Substituindo na expressão de u obtemos a forma simples
u(x,t)=xt+\cos x\cos 2t.

Passo 13

Verificação rápida das condições iniciais: para t=0,
u(x,0)=x\cdot 0+\cos x\cos 0=\cos x,
u_{t}(x,t)=x-2\cos x\sin 2t \quad\Rightarrow\quad u_{t}(x,0)=x,
logo as condições iniciais são satisfeitas. Também a solução respeita a PDE por construção (usando a=2).

Resposta

u(x,t)=xt+\cos x\cos 2t

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