Utilize a solução de D’Alembert
para resolver o problema
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação de onda
com condições iniciais
As informações relevantes são: a PDE dada (forma típica de equação da onda com alguma velocidade), e as duas condições iniciais que especificam
e
em
. O objetivo é encontrar a solução
que satisfaça a PDE e essas condições.
Passo 2
Apresento a solução de D’Alembert postulada no enunciado:
onde
e
são funções duas vezes deriváveis que vamos determinar, e
é a velocidade de propagação (um número real positivo). Vou calcular
comparando a forma geral com a PDE dada. Primeiro calculemos as derivadas necessárias (fazendo
e
):
Passo 3
Derivadas:
Passo 4
Substituindo na PDE
obtemos
Para que isso valha para funções gerais
precisamos que
(tomamos
como velocidade positiva).
Passo 5
Agora imponho as condições iniciais com
. Em
temos
, logo
Para a derivada temporal em
:
Dividindo por
fica
Passo 6
Temos, portanto, o sistema para
Usei a derivada da primeira equação para obter (\Phi’+\Psi’=-\sin x].]
Passo 7
Resolvendo o sistema linear para
e
: some as duas equações que envolvem derivadas:
Assim
Subtraindo as mesmas equações para obter
:
logo
Passo 8
Integramos
e
em
. Obtém-se (incluso constante de integração)
porque
e
.
Passo 9
Usamos a condição
para relacionar
e
:
Para que isso seja igual a
para todo
precisamos de
Como as constantes aparecem com sinais opostos na soma, podemos escolher (sem perda de generalidade para a solução final)
ou qualquer par com soma zero — elas acabam cancelando na solução
. Para simplicidade tomo
.
Passo 10
Agora construo a solução:
Substituindo
e
(com
):
Passo 11
Simplifico a parte polinomial:
Assim
Passo 12
Uso a identidade trigonométrica
com
e
. Então
Substituindo na expressão de
obtemos a forma simples
Passo 13
Verificação rápida das condições iniciais: para
,
logo as condições iniciais são satisfeitas. Também a solução respeita a PDE por construção (usando
).