Encontre a solução da equação:
\left\{\begin{array}{l} u_{x x}=0 \\\ u(0, y)=\cos (y), \frac{\partial u}{\partial x}(0, y)=y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação e as condições iniciais:
\begin{cases} u_{xx}=0,\\[4pt] u(0,y)=\cos(y),\\[4pt] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(0,y)=y. \end{cases}
As perguntas são: encontrar a função u(x,y) que satisfaz a equação \,u_{xx}=0 e as duas condições impostas em x=0. As informações relevantes são exatamente a equação diferencial parcial \,u_{xx}=0 e os valores de u e de u_x na linha x=0.]

Passo 2

Interpretação da equação \,u_{xx}=0: isto significa que a segunda derivada de u em relação a x, mantendo y fixo, é zero. Para cada valor fixo de y, a função x\mapsto u(x,y) tem segunda derivada zero, ou seja, é uma função afim (linear) em x. Em termos práticos, integramos a equação em relação a x.

Passo 3

Integração da equação em x uma vez. Como \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0, integrando em x obtemos
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=C_1(y),
onde C_1(y) é uma função de y aparecendo como “constante de integração” (porque integramos em x, a constante pode depender de y). Aqui explicito: \frac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x, e a igualdade diz que essa derivada não depende de x, apenas de y.

Passo 4

Integração em x pela segunda vez. Integrando \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=C_1(y) em x obtemos
u(x,y)=C_1(y)\,x + C_2(y),
onde C_2(y) é outra função de y (segunda “constante” de integração). Então a forma geral das soluções é uma expressão afim em x com coeficientes que podem depender de y.

Passo 5

Aplicar as condições em x=0 para determinar C_1 e C_2. Da condição u(0,y)=\cos(y) temos
u(0,y)=C_1(y)\cdot 0 + C_2(y)=C_2(y)=\cos(y).
Da condição \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(0,y)=y e da expressão \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=C_1(y), obtemos
C_1(y)=y.
Portanto C_1(y)=y e C_2(y)=\cos(y).

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na fórmula geral obtemos a solução particular:
u(x,y)=y\,x+\cos(y).
Vamos checar rapidamente: calcule \displaystyle u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{\partial u}{\partial x}\big)=\frac{\partial}{\partial x}(y)=0 (porque y é tratado como constante ao derivar em x), e em x=0 temos u(0,y)=y\cdot 0+\cos(y)=\cos(y) e \displaystyle u_x(0,y)=y. Tudo confere.

Resposta

u(x,y)=x\,y+\cos(y)

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