Sabe-se que a vida, em horas, de uma bactéria é aproximadamente distribuída normalmente, com desvio-padrão
hora. Uma amostra aleatória de 10 bactérias tem uma vida média de
horas.
a) Há evidência que suporte a alegação de que a vida da bactéria excede 40 horas? Use
.
b) Qual é o valor P para o teste do item a ?
a) Há evidência que suporte a alegação de que a vida da bactéria excede 40 horas? Use
b) Qual é o valor P para o teste do item a ?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente sabe que a vida das bactérias, medida em horas, segue uma distribuição normal com desvio-padrão de
horas. Tiramos uma amostra aleatória de
bactérias e a média dessa amostra foi de
horas.
O que precisamos fazer é:
a) Verificar se há evidência suficiente para afirmar que a vida média das bactérias excede
horas, usando um nível de significância de
.
b) Calcular o valor
desse teste realizado no item a.
Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses para a média, assumindo que a distribuição é normal.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses para o teste.
- Hipótese nula (
): A média da vida das bactérias é igual a horas, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A média da vida das bactérias é maior que horas, ou seja, .
Estamos interessados em saber se a média realmente excede
horas, então usamos um teste unilateral à direita.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como temos uma amostra pequena (
) e não conhecemos a variância da população (mas temos o desvio-padrão), vamos usar o teste
de Student.
A fórmula para o teste
é:
Onde:
-
é a média amostral ( horas), -
é a média hipotética ( horas), -
é o desvio-padrão da população ( horas), -
é o tamanho da amostra ( ).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Então, o valor do teste
é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o valor crítico para comparar com nosso
calculado. Como nosso teste é unilateral à direita e o nível de significância é
, vamos consultar a tabela
de Student com
graus de liberdade.
O valor crítico para
com
graus de liberdade é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor do teste
calculado com o valor crítico:
Como
é menor que
, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 7
Então, não há evidência suficiente para afirmar que a vida média das bactérias excede
horas ao nível de significância de
.
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor
para o teste realizado no item a. O valor
representa a probabilidade de obter um valor do teste tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira.
Usando a distribuição
com
graus de liberdade, vamos encontrar a probabilidade de
.
Consultando a tabela
ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor
é aproximadamente
.
Resposta
a) Não há evidência suficiente para afirmar que a vida média das bactérias excede
horas ao nível de significância de
.
b) O valor
para o teste é aproximadamente
.