Sabe-se que a vida, em horas, de uma bactéria é aproximadamente distribuída normalmente, com desvio-padrão =1,25 hora. Uma amostra aleatória de 10 bactérias tem uma vida média de =40,5 horas.
a) Há evidência que suporte a alegação de que a vida da bactéria excede 40 horas? Use alpha=0,05.
b) Qual é o valor P para o teste do item a ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente sabe que a vida das bactérias, medida em horas, segue uma distribuição normal com desvio-padrão de 1,25 horas. Tiramos uma amostra aleatória de 10 bactérias e a média dessa amostra foi de 40,5 horas.
O que precisamos fazer é:
a) Verificar se há evidência suficiente para afirmar que a vida média das bactérias excede 40 horas, usando um nível de significância de alpha = 0,05.
b) Calcular o valor P desse teste realizado no item a.
Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses para a média, assumindo que a distribuição é normal.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses para o teste.
  • Hipótese nula ( H0): A média da vida das bactérias é igual a 40 horas, ou seja, mu = 40.
  • Hipótese alternativa ( H1): A média da vida das bactérias é maior que 40 horas, ou seja, mu > 40.
Estamos interessados em saber se a média realmente excede 40 horas, então usamos um teste unilateral à direita.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como temos uma amostra pequena ( n = 10) e não conhecemos a variância da população (mas temos o desvio-padrão), vamos usar o teste t de Student.
A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral ( 40,5 horas),
  • mu0 é a média hipotética ( 40 horas),
  • s é o desvio-padrão da população ( 1,25 horas),
  • n é o tamanho da amostra ( 10).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = 40,5 - 401,25 / raiz10 = 0,51,25 / 3,1623 = 0,50,3953 approx 1,265
Então, o valor do teste t é aproximadamente 1,265.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico para comparar com nosso t calculado. Como nosso teste é unilateral à direita e o nível de significância é alpha = 0,05, vamos consultar a tabela t de Student com n - 1 = 9 graus de liberdade.
O valor crítico para t0,05 com 9 graus de liberdade é aproximadamente 1,833.

Passo 6

Comparamos o valor do teste t calculado com o valor crítico:
1,265 < 1,833
Como 1,265 é menor que 1,833, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 7

Então, não há evidência suficiente para afirmar que a vida média das bactérias excede 40 horas ao nível de significância de 5%.

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor P para o teste realizado no item a. O valor P representa a probabilidade de obter um valor do teste tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula seja verdadeira.
Usando a distribuição t com 9 graus de liberdade, vamos encontrar a probabilidade de t > 1,265.
Consultando a tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor P é aproximadamente 0,114.

Resposta

a) Não há evidência suficiente para afirmar que a vida média das bactérias excede 40 horas ao nível de significância de 5%.
b) O valor P para o teste é aproximadamente 0,114.

Exercícios relacionados