Para detectar a presença do vírus Z no organismo é efetuado o teste X. Sabe-se que o vírus Z está presente em 0,1 % da população, enquanto o teste X acusa em 98% dos casos de pessoas com o vírus e em 4% dos casos em pessoas sadias.
Considerando essas informações, pede-se:
Qual é a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo tenha de fato o vírus Z?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Queremos descobrir qual a chance de uma pessoa realmente ter o vírus Z, sabendo que o teste X deu positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes. Precisamos saber a prevalência do vírus na população, a sensibilidade do teste (quantas vezes o teste identifica corretamente quem tem o vírus) e a taxa de falso positivo (quantas vezes o teste indica vírus quando a pessoa está saudável).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades que temos:
  • $ P(V) = 0,001 $ : Probabilidade de uma pessoa ter o vírus Z (0,1%).
  • $ P(X|V) = 0,98 $ : Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa realmente tem o vírus (98% de sensibilidade).
  • $ P(X|\neg V) = 0,04 $ : Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa NÃO tem o vírus (4% de falso positivo).

Passo 3

Queremos encontrar $ P(V|X) $, que é a probabilidade de alguém ter o vírus sabendo que o teste deu positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas probabilidades com novas informações.

Passo 4

O Teorema de Bayes é dado por:
P(V|X) = P(X|V) cdot P(V)P(X)
Mas precisamos calcular $ P(X) $, que é a probabilidade total do teste ser positivo. Isso pode acontecer de duas formas: ou a pessoa tem o vírus e o teste deu positivo, ou a pessoa não tem o vírus e mesmo assim o teste deu positivo.

Passo 5

Calculando $ P(X) $:
P(X)
Sabemos que $ P(\neg V) = 1 - P(V) = 0,999 $. Então:
P(X) = P(X|V) cdot P(V) + P(X|neg V) cdot P(neg V)

Passo 6

Agora, aplicando os valores no Teorema de Bayes:
P(V|X) = 0,98 cdot 0,0010,04094 approx 0,000980,04094 approx 0,0239

Resposta

A probabilidade de uma pessoa com resultado positivo ter de fato o vírus Z é de aproximadamente 2,39%.

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