Para detectar a presença do vírus
no organismo é efetuado o teste
. Sabe-se que o vírus
está presente em
da população, enquanto o teste
acusa em 98% dos casos de pessoas com o vírus e em 4% dos casos em pessoas sadias.
Considerando essas informações, pede-se:
Qual é a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo tenha de fato o vírus Z?
Considerando essas informações, pede-se:
Qual é a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo tenha de fato o vírus Z?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Queremos descobrir qual a chance de uma pessoa realmente ter o vírus Z, sabendo que o teste X deu positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente o Teorema de Bayes. Precisamos saber a prevalência do vírus na população, a sensibilidade do teste (quantas vezes o teste identifica corretamente quem tem o vírus) e a taxa de falso positivo (quantas vezes o teste indica vírus quando a pessoa está saudável).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades que temos:
- $ P(V) = 0,001 $ : Probabilidade de uma pessoa ter o vírus Z (0,1%).
- $ P(X|V) = 0,98 $ : Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa realmente tem o vírus (98% de sensibilidade).
- $ P(X|\neg V) = 0,04 $ : Probabilidade do teste dar positivo se a pessoa NÃO tem o vírus (4% de falso positivo).
Passo 3
Queremos encontrar $ P(V|X) $, que é a probabilidade de alguém ter o vírus sabendo que o teste deu positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar nossas probabilidades com novas informações.
Passo 4
O Teorema de Bayes é dado por:
Mas precisamos calcular $ P(X) $, que é a probabilidade total do teste ser positivo. Isso pode acontecer de duas formas: ou a pessoa tem o vírus e o teste deu positivo, ou a pessoa não tem o vírus e mesmo assim o teste deu positivo.
Passo 5
Calculando $ P(X) $:
Sabemos que $ P(\neg V) = 1 - P(V) = 0,999 $. Então:
Passo 6
Agora, aplicando os valores no Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de uma pessoa com resultado positivo ter de fato o vírus Z é de aproximadamente 2,39%.