Q4: Sabemos que (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4 da matriz \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & -8\end{array}\right].
Assinale o valor de a.
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 5
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 4 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & -8\end{pmatrix},
diz que (1,a,b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4 e pergunta qual é o valor de a.
Informações relevantes que temos:
\text{vetor } v = (1,a,b),\qquad \lambda = 4,\qquad A \text{ dada acima.}]

Passo 2

Definição básica (passo-a-passo): ser autovetor associado ao autovalor significa que, ao multiplicar a matriz pelo vetor, obtemos o mesmo vetor multiplicado por \lambda. Em símbolos, isso quer dizer
A v = \lambda v.
Aqui v é o vetor coluna cujas entradas são 1, a e b. Vou aplicar essa igualdade componente a componente.

Passo 3

Calculemos A v. Primeiro escrevo v como vetor coluna e faço o produto:
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] a\\[4pt] b\end{pmatrix},\qquad A v = \begin{pmatrix}-1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 4 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & -8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt] a\\[4pt] b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot 1 + 1\cdot a + (-2)\cdot b \\[6pt] 0\cdot 1 + 4\cdot a + (-1)\cdot b \\[6pt] 0\cdot 1 + 0\cdot a + (-8)\cdot b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + a - 2b \\[6pt] 4a - b \\[6pt] -8b \end{pmatrix}.]

Passo 4

A condição A v = \lambda v com \lambda=4
A v = 4 v = 4\begin{pmatrix}1\\[4pt] a\\[4pt] b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt] 4a\\[4pt] 4b\end{pmatrix}.
Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} -1 + a - 2b = 4,\\[4pt] 4a - b = 4a,\\[4pt] -8b = 4b. \end{cases}]

Passo 5

Agora resolvemos o sistema, passo a passo.
Da terceira equação:
-8b = 4b \implies -8b - 4b = 0 \implies -12b = 0 \implies b = 0.
Verificação pela segunda equação (serve para confirmar consistência):
4a - b = 4a \implies -b = 0 \implies b = 0,
que coincide com o que já encontramos.
Com b=0, vamos à primeira equação:
-1 + a - 2b = 4 \implies -1 + a - 2\cdot 0 = 4 \implies -1 + a = 4 \implies a = 4 + 1 = 5.

Passo 6

Verificação final rápida: com a=5 e b=0,
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1+5-0\\[4pt]4\cdot5-0\\[4pt]-8\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]20\\[4pt]0\end{pmatrix} =4\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix},
ou seja, funciona perfeitamente: (1,5,0) é autovetor para \lambda=4.]

Resposta

5

Exercícios relacionados