Q4: Sabemos que (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4 da matriz \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & -8\end{array}\right].
Assinale o valor de a.
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 5
(E) Não sei
diz que (1,a,b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4 e pergunta qual é o valor de a.
Informações relevantes que temos:
\text{vetor } v = (1,a,b),\qquad \lambda = 4,\qquad A \text{ dada acima.}]
Passo 2
Definição básica (passo-a-passo): ser autovetor associado ao autovalor significa que, ao multiplicar a matriz pelo vetor, obtemos o mesmo vetor multiplicado por \lambda. Em símbolos, isso quer dizer
A v = \lambda v.
Aqui v é o vetor coluna cujas entradas são 1, a e b. Vou aplicar essa igualdade componente a componente.
Passo 3
Calculemos A v. Primeiro escrevo v como vetor coluna e faço o produto:
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] a\\[4pt] b\end{pmatrix},\qquad A v = \begin{pmatrix}-1 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & 4 & -1 \\[4pt] 0 & 0 & -8\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt] a\\[4pt] b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot 1 + 1\cdot a + (-2)\cdot b \\[6pt] 0\cdot 1 + 4\cdot a + (-1)\cdot b \\[6pt] 0\cdot 1 + 0\cdot a + (-8)\cdot b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + a - 2b \\[6pt] 4a - b \\[6pt] -8b \end{pmatrix}.]
Passo 4
A condição A v = \lambda v com \lambda=4 dá
A v = 4 v = 4\begin{pmatrix}1\\[4pt] a\\[4pt] b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt] 4a\\[4pt] 4b\end{pmatrix}.
Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} -1 + a - 2b = 4,\\[4pt] 4a - b = 4a,\\[4pt] -8b = 4b. \end{cases}]