Como \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados a 7 e -4, temos A\vec{v}_{1}=7\vec{v}_{1} e A\vec{v}_{2}=-4\vec{v}_{2}. Portanto
A M = \left[\begin{array}{ll}7\vec{v}_{1} & -4\vec{v}_{2}\end{array}\right] = M \left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{array}\right].]
Passo 3
A equação do passo anterior pode ser escrita como
A M = M D,
onde D=\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{array}\right].
Se M for invertível, multiplica-se à direita por M^{-1} e obtém-se a fatoração
A = M D M^{-1}.
Explicação sobre invertibilidade: como os autovalores são distintos (7\neq -4), os autovetores \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são linearmente independentes, então M tem colunas independentes e é invertível. Isso garante que a fatoração acima é válida.]
Passo 4
Agora queremos A^{-1}. Usamos a regra geral de inversão de produto: (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}. Aplicando em A=M D M^{-1} obtemos
A^{-1} = (M D M^{-1})^{-1} = (M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1} = M D^{-1} M^{-1}.
Aqui usei que (M^{-1})^{-1}=M.
Passo 5
Calcular D^{-1} é simples porque D é diagonal. A inversa de uma matriz diagonal é a diagonal dos recíprocos dos elementos não nulos da diagonal. Assim, como D=\mathrm{diag}(7,-4),
Agora basta comparar com as alternativas: essa expressão coincide exatamente com a alternativa (C).]
Passo 7
Resumo e checagem rápida: começamos com A M = M D, obtemos A = M D M^{-1}, invertendo veio A^{-1}=M D^{-1} M^{-1}, e D^{-1}=\mathrm{diag}(1/7,-1/4). Tudo consistente e com sinais corretos — logo a alternativa (C) é a correta.