Q17: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são 7 e -4 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\\\ 0 & -4\end{array}\right] M^{-1}
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{4}\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\\\ 0 & -4\end{array}\right] M
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & -\frac{1}{4}\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 4\end{array}\right] M^{-1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dados: A é uma matriz 2\times2.
  • Os autovalores de A são 7 e -4.
  • O autovalor 7 está associado ao autovetor \vec{v}_{1}.
  • O autovalor -4 está associado ao autovetor \vec{v}_{2}.
  • Definimos M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (matriz cujas colunas são \vec{v}_1 e \vec{v}_2).
  • Pergunta: qual das alternativas (A)–(F) representa corretamente A^{-1}?

Passo 2

Primeiro fato útil (mostro por que vale aqui): aplicar A às colunas de M
A\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll}A\vec{v}_{1} & A\vec{v}_{2}\end{array}\right].
Como \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores associados a 7 e -4, temos A\vec{v}_{1}=7\vec{v}_{1} e A\vec{v}_{2}=-4\vec{v}_{2}. Portanto
A M = \left[\begin{array}{ll}7\vec{v}_{1} & -4\vec{v}_{2}\end{array}\right] = M \left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{array}\right].]

Passo 3

A equação do passo anterior pode ser escrita como
A M = M D,
onde D=\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\[4pt] 0 & -4\end{array}\right].
Se M for invertível, multiplica-se à direita por M^{-1} e obtém-se a fatoração
A = M D M^{-1}.
Explicação sobre invertibilidade: como os autovalores são distintos ( 7\neq -4), os autovetores \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são linearmente independentes, então M tem colunas independentes e é invertível. Isso garante que a fatoração acima é válida.]

Passo 4

Agora queremos A^{-1}. Usamos a regra geral de inversão de produto: (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}. Aplicando em A=M D M^{-1} obtemos
A^{-1} = (M D M^{-1})^{-1} = (M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1} = M D^{-1} M^{-1}.
Aqui usei que (M^{-1})^{-1}=M.

Passo 5

Calcular D^{-1} é simples porque D é diagonal. A inversa de uma matriz diagonal é a diagonal dos recíprocos dos elementos não nulos da diagonal. Assim, como D=\mathrm{diag}(7,-4),
D^{-1}=\mathrm{diag}\!\left(\frac{1}{7},-\frac{1}{4}\right) =\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{7} & 0 \\[4pt] 0 & -\frac{1}{4}\end{array}\right].
Observação rápida: o inverso de -4 é -\tfrac{1}{4}, por isso o sinal negativo permanece.]

Passo 6

Substituindo em A^{-1}=M D^{-1} M^{-1} obtemos a expressão final
A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{7} & 0 \\[4pt] 0 & -\frac{1}{4}\end{array}\right]M^{-1}.
Agora basta comparar com as alternativas: essa expressão coincide exatamente com a alternativa (C).]

Passo 7

Resumo e checagem rápida: começamos com A M = M D, obtemos A = M D M^{-1}, invertendo veio A^{-1}=M D^{-1} M^{-1}, e D^{-1}=\mathrm{diag}(1/7,-1/4). Tudo consistente e com sinais corretos — logo a alternativa (C) é a correta.

Resposta

(C)

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