Q2: Sabemos que (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4 da matriz \left[\begin{array}{rrr}-3 & 1 & 6 \\\\ 0 & 4 & -7 \\\\ 0 & 0 & 8\end{array}\right].
Assinale o valor de a.
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 5
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A matriz
A=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 6 \\[4pt] 0 & 4 & -7 \\[4pt] 0 & 0 & 8\end{pmatrix}
  • Diz que (1,a,b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4.
  • Pede o valor de a.]

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática): um vetor \mathbf{v} é autovetor de uma matriz A associado ao autovalor \lambda quando
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Isto significa que ao subtrair \lambda vezes a matriz identidade I de A e multiplicar pelo vetor, obtemos o vetor nulo:
(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Aqui \mathbf{v}=(1,a,b)^{T} e \lambda=4. A matriz I é a matriz identidade 3\times3 (1 na diagonal, 0 fora).

Passo 3

Calculemos (A-4I). Subtraindo 4 da diagonal de A obtemos:
A-4I=\begin{pmatrix}-3-4 & 1 & 6 \\[4pt] 0 & 4-4 & -7 \\[4pt] 0 & 0 & 8-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7 & 1 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & -7 \\[4pt] 0 & 0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora impomos (A-4I)(1,a,b)^{T}=\mathbf{0}. Isto gera um sistema linear de três equações:
Primeira linha:
-7\cdot 1 + 1\cdot a + 6\cdot b = 0.
Segunda linha:
0\cdot 1 + 0\cdot a -7\cdot b = 0.
Terceira linha:
0\cdot 1 + 0\cdot a +4\cdot b = 0.

Passo 5

Simplificando cada equação:
  • Da primeira temos
-7 + a + 6b = 0 \quad\Rightarrow\quad a + 6b = 7.
  • Da segunda temos
-7b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.
  • Da terceira temos
4b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0,
que confirma a segunda (consistência).

Passo 6

Substituindo b=0 na equação da primeira linha a+6b=7, obtemos
a + 6\cdot 0 = 7 \quad\Rightarrow\quad a = 7.

Passo 7

Verificação rápida: com b=0 e a=7 temos (A-4I)(1,7,0)^{T}=\mathbf{0}, logo (1,7,0) é realmente um autovetor associado a \lambda=4. Portanto o valor de a é 7.

Resposta

(B) 7

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