Q2: Sabemos que (1, a, b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=4 da matriz \left[\begin{array}{rrr}-3 & 1 & 6 \\\\ 0 & 4 & -7 \\\\ 0 & 0 & 8\end{array}\right].
Assinale o valor de a.
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 5
(E) Não sei
Agora impomos (A-4I)(1,a,b)^{T}=\mathbf{0}. Isto gera um sistema linear de três equações:
Primeira linha:
-7\cdot 1 + 1\cdot a + 6\cdot b = 0.
Segunda linha:
0\cdot 1 + 0\cdot a -7\cdot b = 0.
Terceira linha:
0\cdot 1 + 0\cdot a +4\cdot b = 0.
Passo 5
Simplificando cada equação:
Da primeira temos
-7 + a + 6b = 0 \quad\Rightarrow\quad a + 6b = 7.
Da segunda temos
-7b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0.
Da terceira temos
4b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = 0,
que confirma a segunda (consistência).
Passo 6
Substituindo b=0 na equação da primeira linha a+6b=7, obtemos
a + 6\cdot 0 = 7 \quad\Rightarrow\quad a = 7.
Passo 7
Verificação rápida: com b=0 e a=7 temos (A-4I)(1,7,0)^{T}=\mathbf{0}, logo (1,7,0) é realmente um autovetor associado a \lambda=4. Portanto o valor de a é 7.