Q9: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -7 e 9 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 9\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 9\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right] M^{-1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: A é uma matriz 2\times2 cujos autovalores são -7 e 9, respectivamente associados aos vetores próprios \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
  • Definição: M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (ou seja, as colunas de M são os vetores próprios \vec{v}_1 e \vec{v}_2).
  • Pergunta: qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) representa corretamente A^{-1}?

Passo 2

Conceito chave (explicado devagarinho): se uma matriz A tem uma base de vetores próprios (aqui \vec{v}_1,\vec{v}_2 são independentes), então A é diagonalizável e tem a decomposição
A = M D M^{-1},
onde D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores na mesma ordem das colunas de M. No nosso caso, como a primeira coluna de M é \vec{v}_1 (autovalor -7) e a segunda é \vec{v}_2 (autovalor 9), temos
D=\begin{pmatrix}-7 & 0\\[4pt] 0 & 9\end{pmatrix}.
Explicando: a equação A=M D M^{-1} significa que, na base formada por \vec{v}_1,\vec{v}_2, a aplicação linear representada por A age multiplicando cada componente pela respectiva entrada de D (isto é, pelo autovalor).]

Passo 3

Como encontrar A^{-1}? Primeiro percebemos que D tem entradas não nulas ( -7 e 9), então D é invertível e sua inversa é obtida invertendo cada entrada diagonal (isso é geral: se D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots) com d_i\neq0, então D^{-1}=\operatorname{diag}(1/d_1,1/d_2,\dots)). Assim
D^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando D por D^{-1} obtemos a identidade:
\begin{pmatrix}-7 & 0\\\\ 0 & 9\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0\\\\ 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora a regra de inversão de produto: para matrizes invertíveis X,Y,Z vale (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}. Aplicando isso a A=M D M^{-1} temos
A^{-1}=(M D M^{-1})^{-1}=(M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1}.
Como (M^{-1})^{-1}=M, isso simplifica para
A^{-1}=M D^{-1} M^{-1}.
Também dá para checar multiplicando A por essa expressão e verificando que o produto é a identidade:
A\bigl(M D^{-1} M^{-1}\bigr) = (M D M^{-1})(M D^{-1} M^{-1}) = M D D^{-1} M^{-1} = M I M^{-1}=I.

Passo 5

Substituindo o D^{-1} calculado no Passo 3 obtemos a fórmula explícita para A^{-1}:
A^{-1}=M\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9}\end{pmatrix}M^{-1}.
Isso corresponde exatamente à alternativa (D).
Observação curta sobre as outras alternativas: (B) e (C) usariam os autovalores -7 e 9 em vez de seus recíprocos, portanto não representam a inversa; (A) tem a ordem M^{-1}(\cdots)M trocada, o que também está incorreto para a inversa.]

Resposta

(D)

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