Q9: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -7 e 9 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right] M
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 9\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 9\end{array}\right] M^{-1}
(D) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right] M^{-1}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dado: A é uma matriz 2\times2 cujos autovalores são -7 e 9, respectivamente associados aos vetores próprios \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Definição: M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (ou seja, as colunas de M são os vetores próprios \vec{v}_1 e \vec{v}_2).
Pergunta: qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) representa corretamente A^{-1}?
Passo 2
Conceito chave (explicado devagarinho): se uma matriz A tem uma base de vetores próprios (aqui \vec{v}_1,\vec{v}_2 são independentes), então A é diagonalizável e tem a decomposição
A = M D M^{-1},
onde D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores na mesma ordem das colunas de M. No nosso caso, como a primeira coluna de M é \vec{v}_1 (autovalor -7) e a segunda é \vec{v}_2 (autovalor 9), temos
Explicando: a equação A=M D M^{-1} significa que, na base formada por \vec{v}_1,\vec{v}_2, a aplicação linear representada por A age multiplicando cada componente pela respectiva entrada de D (isto é, pelo autovalor).]
Passo 3
Como encontrar A^{-1}? Primeiro percebemos que D tem entradas não nulas (-7 e 9), então D é invertível e sua inversa é obtida invertendo cada entrada diagonal (isso é geral: se D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\dots) com d_i\neq0, então D^{-1}=\operatorname{diag}(1/d_1,1/d_2,\dots)). Assim
Observação curta sobre as outras alternativas: (B) e (C) usariam os autovalores -7 e 9 em vez de seus recíprocos, portanto não representam a inversa; (A) tem a ordem M^{-1}(\cdots)M trocada, o que também está incorreto para a inversa.]