Q13:
Seja
uma matriz quadrada. Considere o sistema linear
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
, o sistema pode não ter solução.
II - Se o sistema tem solução única para
, então
0 .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
I - Se
II - Se o sistema tem solução única para
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá: uma matriz quadrada
e o sistema linear
. São apresentadas duas afirmativas:
I - Se , o sistema pode não ter solução.
II - Se o sistema tem solução única para , então
.
I - Se
II - Se o sistema tem solução única para
O que o problema pede: decidir quais das afirmativas I e II são verdadeiras (escolher a alternativa correta entre as opções).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é quadrada.
é o sistema geral; em II fala-se do caso homogêneo
.
As afirmativas envolvem o valor de e existência/unicidade de soluções.
As afirmativas envolvem o valor de
Passo 2
Entender a relação básica entre determinante, inversibilidade e soluções de sistemas (aqui vou explicar com calma).
Fato fundamental (teorema que vamos usar): para uma matriz quadrada
de ordem
,
O significado prático: se
, então para todo vetor
existe exatamente uma solução do sistema
, e essa solução é dada por
Explicação do porquê (passo a passo): se
então
existe. Multiplicando ambos os lados da equação
por
obtemos
logo existe solução. Para unicidade: se
e
são soluções então
; multiplicando por
temos
, logo
. Portanto exatamente uma solução.
Conclusão sobre a afirmativa I: I diz “Se
, o sistema pode não ter solução.” — isso contradiz o fato acima. Se
o sistema sempre tem solução (única) para todo
. Portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 3
Agora vamos analisar a afirmativa II com cuidado.
Afirmativa II: “Se o sistema tem solução única para
, então
.”
Interpretação: o sistema com
é o sistema homogêneo
. Dizer que ele tem solução única significa que a única solução é
(chamada solução trivial).
Fato usado: para a sistema homogêneo
,
a existência apenas da solução trivial é equivalente às colunas de
serem linearmente independentes, o que equivale a
ter posto
(se
é
) e, consequentemente, a
.
a existência apenas da solução trivial
Explicando passo a passo:
- Se a única solução do homogêneo é
, então a nulidade do operador linear é zero, então as colunas de são linearmente independentes. - Para matriz quadrada, colunas independentes ⇒ posto
⇒ matriz invertível ⇒ .
Portanto a implicação correta é
A afirmativa II afirma o oposto (
), portanto II também é falsa.
Um exemplo concreto para fixar: tome
Aqui
e o homogêneo
tem somente
. Por outro lado, se
(por exemplo
com
), o homogêneo tem soluções não triviais (infinitas soluções). Isso ilustra que II está incorreta.]
Passo 4
Resumo lógico: I é falsa e II é falsa. Assim, ambas as afirmativas são falsas.
Resposta
(C)