Q13:

Seja A uma matriz quadrada. Considere o sistema linear A \vec{x}=\vec{b}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \operatorname{det} A \neq 0, o sistema pode não ter solução.
II - Se o sistema tem solução única para \vec{b}=\overrightarrow{0}, então \operatorname{det} A= 0 .
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá: uma matriz quadrada A e o sistema linear A\vec{x}=\vec{b}. São apresentadas duas afirmativas:
I - Se \operatorname{det} A \neq 0, o sistema pode não ter solução.
II - Se o sistema tem solução única para \vec{b}=\overrightarrow{0}, então \operatorname{det} A=0.
O que o problema pede: decidir quais das afirmativas I e II são verdadeiras (escolher a alternativa correta entre as opções).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;A é quadrada.
\;A\vec{x}=\vec{b} é o sistema geral; em II fala-se do caso homogêneo \;A\vec{x}=\overrightarrow{0}.
As afirmativas envolvem o valor de \operatorname{det} A e existência/unicidade de soluções.

Passo 2

Entender a relação básica entre determinante, inversibilidade e soluções de sistemas (aqui vou explicar com calma).
Fato fundamental (teorema que vamos usar): para uma matriz quadrada A de ordem n,
\det A \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A \text{ é invertível (existe }A^{-1}\text{)}.éí
O significado prático: se \det A \neq 0, então para todo vetor \vec{b} existe exatamente uma solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, e essa solução é dada por
\vec{x}=A^{-1}\vec{b}.
Explicação do porquê (passo a passo): se \det A\neq 0 então A^{-1} existe. Multiplicando ambos os lados da equação A\vec{x}=\vec{b} por A^{-1} obtemos
A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\quad\Rightarrow\quad \vec{x}=A^{-1}\vec{b},
logo existe solução. Para unicidade: se \vec{x}_1 e \vec{x}_2 são soluções então A(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=\vec{0}; multiplicando por A^{-1} temos \vec{x}_1-\vec{x}_2=\vec{0}, logo \vec{x}_1=\vec{x}_2. Portanto exatamente uma solução.
Conclusão sobre a afirmativa I: I diz “Se \operatorname{det} A \neq 0, o sistema pode não ter solução.” — isso contradiz o fato acima. Se \det A\neq 0 o sistema sempre tem solução (única) para todo \vec{b}. Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Agora vamos analisar a afirmativa II com cuidado.
Afirmativa II: “Se o sistema tem solução única para \vec{b}=\overrightarrow{0}, então \operatorname{det} A=0.”
Interpretação: o sistema com \vec{b}=\overrightarrow{0} é o sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}. Dizer que ele tem solução única significa que a única solução é \vec{x}=\overrightarrow{0} (chamada solução trivial).
Fato usado: para a sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0},
a existência apenas da solução trivial \vec{x}=\overrightarrow{0} é equivalente às colunas de A serem linearmente independentes, o que equivale a A ter posto n (se A é n\times n) e, consequentemente, a \det A \neq 0.
Explicando passo a passo:
  • Se a única solução do homogêneo é \vec{0}, então a nulidade do operador linear é zero, então as colunas de A são linearmente independentes.
  • Para matriz quadrada, colunas independentes ⇒ posto =n ⇒ matriz invertível ⇒ \det A \neq 0.
Portanto a implicação correta é
\text{(homogêneo tem única solução)} \quad\Longrightarrow\quad \det A \neq 0.êúçã
A afirmativa II afirma o oposto ( \det A=0), portanto II também é falsa.
Um exemplo concreto para fixar: tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Aqui \det A=1\neq 0 e o homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} tem somente \vec{x}=\overrightarrow{0}. Por outro lado, se \det A=0 (por exemplo A=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]2&4\end{pmatrix} com \det A=0), o homogêneo tem soluções não triviais (infinitas soluções). Isso ilustra que II está incorreta.]

Passo 4

Resumo lógico: I é falsa e II é falsa. Assim, ambas as afirmativas são falsas.

Resposta

(C)

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