Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr} 5 & -9 & -3 \\\\ 7 & -9 & 3 \\\\ -1 & 3 & 3 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right] P^{-1} \quad \text { com } \quad a<b
A 3^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}4 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{c}4 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{l}4 \\\ \star \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\left[\begin{array}{rrr} 5 & -9 & -3 \\\\ 7 & -9 & 3 \\\\ -1 & 3 & 3 \end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b \end{array}\right]P^{-1}\quad\text{com}\quad a<b
e pergunta: a 3ª coluna da matriz P é múltipla de qual das opções (A), (B), (C) ou (D).
Informações relevantes que o enunciado dá:
A=\left[\begin{array}{rrr} 5 & -9 & -3 \\\\ 7 & -9 & 3 \\\\ -1 & 3 & 3 \end{array}\right],
existe P invertível e uma matriz diagonal com entradas -3,\;a,\;b (nessa ordem) tal que A=P\operatorname{diag}(-3,a,b)P^{-1} e sabemos que a<b.
A tarefa é descobrir qual vetor (ou multiplo dele) corresponde à 3ª coluna de P.

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicado passo a passo): se
A = P D P^{-1},
onde D é diagonal com entradas D_{11}=\lambda_1,\;D_{22}=\lambda_2,\;D_{33}=\lambda_3, então as colunas de P são vetores próprios (autovetores) de A associados aos autovalores \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 respectivamente. Vou mostrar porquê:
escreva P=[p_1\\ p_2\\ p_3] (cada p_j coluna). Então
AP = P D.
O produto à direita P D multiplica cada coluna p_j por \lambda_j, logo
A[p_1\\ p_2\\ p_3] = [\lambda_1 p_1\\ \lambda_2 p_2\\ \lambda_3 p_3].
Isso dá, para cada coluna, a equação
A p_j = \lambda_j p_j,
que é precisamente a equação de autovetor para A. Portanto a 3ª coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor que aparece na 3ª posição da diagonal, isto é, associado a b.

Passo 3

Temos, portanto, que os autovalores de A são -3,\;a,\;b. Vamos calcular explicitamente os autovalores de A encontrando o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevo
A-\lambda I=\left[\begin{array}{rrr} 5-\lambda & -9 & -3 \\\\ 7 & -9-\lambda & 3 \\\\ -1 & 3 & 3-\lambda \end{array}\right].
Calculo o determinante por expansão (faço passo a passo):
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)\det\left[\begin{array}{rr} -9-\lambda & 3\\[4pt] 3 & 3-\lambda \end{array}\right] -(-9)\det\left[\begin{array}{rr} 7 & 3\\[4pt] -1 & 3-\lambda \end{array}\right] +(-3)\det\left[\begin{array}{rr} 7 & -9-\lambda\\[4pt] -1 & 3 \end{array}\right].
Agora calculo cada menor:
\det\left[\begin{array}{rr} -9-\lambda & 3\\[4pt] 3 & 3-\lambda \end{array}\right]=(-9-\lambda)(3-\lambda)-9=\lambda^2+6\lambda-36,
\det\left[\begin{array}{rr} 7 & 3\\[4pt] -1 & 3-\lambda \end{array}\right]=7(3-\lambda)-3(-1)=24-7\lambda,
\det\left[\begin{array}{rr} 7 & -9-\lambda\\[4pt] -1 & 3 \end{array}\right]=7\cdot 3-( -9-\lambda)(-1)=12-\lambda.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(\lambda^2+6\lambda-36)+9(24-7\lambda)-3(12-\lambda).
Faço a expansão com calma:
(5-\lambda)(\lambda^2+6\lambda-36)= -\lambda^3-\lambda^2+66\lambda-180,
9(24-7\lambda)=216-63\lambda,\qquad -3(12-\lambda)=-36+3\lambda.
Somando tudo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda^2+66\lambda-180+216-63\lambda-36+3\lambda=-\lambda^3-\lambda^2+6\lambda.
Colhendo fator comum:
\det(A-\lambda I)=-\lambda(\lambda^2+\lambda-6)=-\lambda(\lambda+3)(\lambda-2).
Portanto os autovalores (raízes) são
\lambda=0,\quad \lambda=-3,\quad \lambda=2.]

Passo 4

Comparando com a diagonal dada \operatorname{diag}(-3,a,b) e lembrando que o enunciado diz a<b, identificamos os autovalores como -3,\;0,\;2 em alguma ordem. Como a matriz diagonal no enunciado está na ordem -3,\;a,\;b, com a<b, segue que
a=0,\qquad b=2.
Logo a 3ª coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor b=2.

Passo 5

Agora vou calcular um autovetor de A associado a \lambda=2. Resolvemos
(A-2I)x=0,
ou explicitamente
\left[\begin{array}{rrr} 3 & -9 & -3 \\\\ 7 & -11 & 3 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\right].
Escrevo as equações linha a linha:
3x_1-9x_2-3x_3=0,
7x_1-11x_2+3x_3=0,
- x_1+3x_2+x_3=0.
Dividindo a primeira por 3 obtenho uma forma mais simples:
x_1-3x_2-x_3=0\quad\Rightarrow\quad x_1=3x_2+x_3.
A terceira equação é
- x_1+3x_2+x_3=0,
que rearranjada dá a mesma relação x_1=3x_2+x_3. Então as equações 1 e 3 são equivalentes; resta usar a segunda para relacionar x_2 e x_3. Substituo x_1=3x_2+x_3 na segunda:
7(3x_2+x_3)-11x_2+3x_3=0.
Faço as contas:
21x_2+7x_3-11x_2+3x_3=0 \quad\Rightarrow\quad 10x_2+10x_3=0.
Logo
x_2+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=-x_3.
Escolho um parâmetro t para x_3=t. Então
x_2=-t,\qquad x_1=3(-t)+t=-2t.
Um autovetor correspondente é, portanto,
\left[\begin{array}{c}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{array}\right]=t\left[\begin{array}{r}-2\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\right].
Como autovetor vale qualquer múltiplo não nulo, posso escolher t=-2 para obter um autovetor cujo primeiro componente seja 4:
t=-2\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{r}4\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{array}\right].
Note que este vetor tem primeira componente 4 e terceira componente -2.]

Passo 6

Comparando com as opções dadas, a única que pede um vetor com primeiro componente 4 e terceiro componente -2 é a opção (A), que é da forma \left[\begin{array}{r}4\\[2pt]\star\\[2pt]-2\end{array}\right]. Portanto a 3ª coluna de P é múltipla dessa opção.]

Resposta

(A)

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