Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 7 & 8 & 6 & 5 \\\\ 1 & 4 & 4 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 1 & 3 & 2\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -12
(B) -11
(C) -10
(D) -9
(E) -8
(F) -7
(G) -6
(H) -5

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz 5\times5 abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 7 & 8 & 6 & 5 \\\\ 1 & 4 & 4 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right]
A única pergunta é: calcule \det(A). O enunciado sugere usar escalonamento (eliminação por operações de linha), então vamos trabalhar via operações de linha mantendo controle de como elas afetam o determinante.

Passo 2

Antes de escalonar, preciso te explicar as regras básicas sobre como operações de linha alteram o determinante — é essencial para saber o que contamos no final.
  • Trocar duas linhas: multiplica o determinante por -1.
    Ex.: se troca R_i com R_j então \det vira -\det.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: não altera o determinante.
    Ex.: R_i \leftarrow R_i + kR_j deixa \det igual.
  • Multiplicar uma linha por escalar c: multiplica o determinante por c.
    Ex.: R_i \leftarrow c R_i faz \det virar c\cdot\det.
Vamos usar apenas trocas e adições de múltiplos (evitar multiplicar linhas por escalar), assim o único ajuste será o sinal quando houver troca de linhas. Ao finalizar o escalonamento até uma matriz triangular superior, o determinante será o produto das entradas da diagonal principal, multiplicado pelos fatores resultantes das trocas/escalações realizadas.

Passo 3

Quero um pivô não nulo em (1,1). A primeira linha tem 0 na primeira coluna, então troco R_1 com R_2 (uma troca de linhas):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2 (uma troca → multiplicar determinante por -1).
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 7 & 8 & 6 & 5 \\\\ 1 & 4 & 4 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right]
Anote: até agora \det original virou -\det da nova matriz por causa da troca.

Passo 4

Elimino as entradas abaixo do pivô (1,1)=1 usando adições de múltiplos de R_1. Essas operações NÃO alteram o determinante.
Operações:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1
  • R_5 \leftarrow R_5 + 2R_1
    ( R_2 já tem zero na primeira coluna e fica igual)
Calculemos cada uma:
  • R_3 = (1,7,8,6,5) - (1,1,1,1,1) = (0,6,7,5,4).
  • R_4 = (1,4,4,3,2) - (1,1,1,1,1) = (0,3,3,2,1).
  • R_5 = (-2,1,1,3,2) + 2(1,1,1,1,1) = (0,3,3,5,4).
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 6 & 7 & 5 & 4 \\\\ 0 & 3 & 3 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 5 & 4 \end{array}\right]

Passo 5

Agora foco na coluna 2 com pivô em (2,2)=3. Uso R_2 para zerar as entradas abaixo (operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_2, que não mudam o determinante).
Operações:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 porque 6 - 2\cdot3 = 0.
  • R_4 \leftarrow R_4 - 1R_2 porque 3 - 1\cdot3 = 0.
  • R_5 \leftarrow R_5 - 1R_2 porque 3 - 1\cdot3 = 0.
Calculemos:
  • R_3 = (0,6,7,5,4) - 2(0,3,3,3,3) = (0,0,1,-1,-2).
  • R_4 = (0,3,3,2,1) - (0,3,3,3,3) = (0,0,0,-1,-2).
  • R_5 = (0,3,3,5,4) - (0,3,3,3,3) = (0,0,0,2,1).
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 6

Continuo com pivô em (3,3)=1. Já há zeros abaixo nessa coluna, então passo ao pivô em (4,4)=-1 para zerar a entrada (5,4)=2.
Operação para zerar (5,4):
  • R_5 \leftarrow R_5 + 2R_4 (porque -1\cdot 2 + 2 = 0). Adição de múltiplo não altera o determinante.
Calcule:
  • R_5 = (0,0,0,2,1) + 2(0,0,0,-1,-2) = (0,0,0,0,-3).
Matriz triangular superior final:
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right]

Passo 7

Agora a matriz está triangular superior. Para uma matriz triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal. Mas lembre-se do efeito da troca feita no Passo 3: tivemos uma troca de linhas, portanto o determinante calculado a partir da triangular terá sinal invertido em relação ao determinante original.
Diagonal (da matriz triangular): \;1,\;3,\;1,\;-1,\;-3.
Produto das diagonais:
1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) = 9.
Lembre que uma troca de linha foi feita no início, o que multiplicou o determinante por -1. Portanto o determinante da matriz original é -1 vezes esse produto:
\det(A) = -1 \cdot 9 = -9.

Passo 8

Resposta final encontrada: \det(A)=-9. Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) -9

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