A única pergunta é: calcule \det(A). O enunciado sugere usar escalonamento (eliminação por operações de linha), então vamos trabalhar via operações de linha mantendo controle de como elas afetam o determinante.
Passo 2
Antes de escalonar, preciso te explicar as regras básicas sobre como operações de linha alteram o determinante — é essencial para saber o que contamos no final.
Trocar duas linhas: multiplica o determinante por -1.
Ex.: se troca R_i com R_j então \det vira -\det.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: não altera o determinante.
Ex.: R_i \leftarrow R_i + kR_j deixa \det igual.
Multiplicar uma linha por escalar c: multiplica o determinante por c.
Ex.: R_i \leftarrow c R_i faz \det virar c\cdot\det.
Vamos usar apenas trocas e adições de múltiplos (evitar multiplicar linhas por escalar), assim o único ajuste será o sinal quando houver troca de linhas. Ao finalizar o escalonamento até uma matriz triangular superior, o determinante será o produto das entradas da diagonal principal, multiplicado pelos fatores resultantes das trocas/escalações realizadas.
Passo 3
Quero um pivô não nulo em (1,1). A primeira linha tem 0 na primeira coluna, então troco R_1 com R_2 (uma troca de linhas):
Agora foco na coluna 2 com pivô em (2,2)=3. Uso R_2 para zerar as entradas abaixo (operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_2, que não mudam o determinante).
Agora a matriz está triangular superior. Para uma matriz triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal principal. Mas lembre-se do efeito da troca feita no Passo 3: tivemos uma troca de linhas, portanto o determinante calculado a partir da triangular terá sinal invertido em relação ao determinante original.
Lembre que uma troca de linha foi feita no início, o que multiplicou o determinante por -1. Portanto o determinante da matriz original é -1 vezes esse produto:
\det(A) = -1 \cdot 9 = -9.
Passo 8
Resposta final encontrada: \det(A)=-9. Isso corresponde à alternativa (D).