Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n \operatorname{com} \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I) Para todo \vec{b} o sistema linear A \vec{x}=\vec{b} possui solução.
II) O núcleo de A é { \overrightarrow{0}}.

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz quadrada de ordem n com \det A = 0. Pede para avaliar quais das duas afirmativas abaixo são verdadeiras e, a partir disso, escolher entre as alternativas (A)–(D):
I) Para todo \vec{b} o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} possui solução.
II) O núcleo de A é \{\vec{0}\}.
As alternativas possíveis são:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 2

Vamos entender as coisas importantes que usaremos (explicação didática, sem pular etapas):
  • O núcleo (ou núcleo) de A é o conjunto
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
É o conjunto de vetores que são levados ao vetor nulo por A.
  • A imagem (ou espaço coluna) de A é
\operatorname{Im}(A)=\{A\vec{x}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^n\},
ou seja, todos os vetores \vec{b} para os quais existe solução de A\vec{x}=\vec{b}. Portanto, o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução se, e somente se, \vec{b}\in\operatorname{Im}(A).
  • A relação dimensão nomeada Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imidade / rank-nullity) diz:
\dim\ker(A)+\operatorname{rank}(A)=n.
Aqui \operatorname{rank}(A)=\dim\operatorname{Im}(A) é o posto (número de colunas linearmente independentes).
  • Uma matriz quadrada A é invertível (tem inversa) se, e somente se, \det A\neq 0. Quando A é invertível, ela mapeia \mathbb{R}^n sobre todo \mathbb{R}^n, então \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n e \ker(A)=\{\vec{0}\}.
Esses fatos são básicos e vamos aplicá‑los agora.

Passo 3

Usando que \det A=0, concluímos que A não é invertível. Vou traduzir o que isso implica em termos de posto e núcleo:
  • Se \det A=0, então \operatorname{rank}(A)<n. Como o posto é inteiro, isso significa \operatorname{rank}(A)\le n-1.
  • Pela fórmula da dimensão,
\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)\ge n-(n-1)=1.
Logo \dim\ker(A)\ge 1, o que significa que existe pelo menos um vetor não nulo \vec{v} tal que A\vec{v}=\vec{0}. Em outras palavras, \ker(A) não é apenas \{\vec{0}\}.
Isto já responde a respeito da afirmativa II: ela afirma que \ker(A)=\{\vec{0}\}. Mas mostramos que, se \det A=0, então \dim\ker(A)\ge 1, ou seja, \ker(A) contém vetores não nulos. Portanto a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Agora vamos analisar a afirmativa I com mais calma:
  • A afirmativa I diz que para todo \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução, isto é, \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n.
  • Mas já sabemos que \operatorname{rank}(A)\le n-1. Como \dim\operatorname{Im}(A)=\operatorname{rank}(A)<n, a imagem de A é um subespaço próprio de \mathbb{R}^n. Portanto não é possível que \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n; existem vetores \vec{b} que não estão na imagem e, para esses \vec{b}, o sistema A\vec{x}=\vec{b} não tem solução.
Logo a afirmativa I também é falsa.

Passo 5

Para fixar a intuição, veja um exemplo simples e concreto (que confirma os argumentos acima):
Escolha A como a matriz nula A=0_{n\times n} (todas as entradas zero). Então \det A=0.
  • Para essa A temos A\vec{x}=\vec{0} para todo \vec{x}. Assim \operatorname{Im}(A)=\{\vec{0}\}, claramente \operatorname{Im}(A)\neq\mathbb{R}^n, então existem muitos \vec{b} (por exemplo \vec{b}=(1,0,\dots,0)^T) para os quais A\vec{x}=\vec{b} não tem solução. Portanto I é falsa.
  • Também para essa A temos \ker(A)=\mathbb{R}^n, que é muito maior que \{\vec{0}\}. Portanto II é falsa.
Esse exemplo é extremo, mas qualquer matriz singular ( \det A=0) terá comportamento semelhante no sentido de que nem todos os \vec{b} são atingidos e o núcleo contém vetores não nulos.

Passo 6

Concluímos que ambas as afirmativas I e II são falsas quando \det A=0. Assim a alternativa correta é a (A): “Todas são falsas.”

Resposta

(A) Todas são falsas.

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