Q4: Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I) Para todo
o sistema linear
possui solução.
II) O núcleo de
é {
}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I) Para todo
II) O núcleo de
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz quadrada de ordem
com
. Pede para avaliar quais das duas afirmativas abaixo são verdadeiras e, a partir disso, escolher entre as alternativas (A)–(D):
I) Para todo
o sistema linear
possui solução.
II) O núcleo de
é
.
As alternativas possíveis são:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 2
Vamos entender as coisas importantes que usaremos (explicação didática, sem pular etapas):
- O núcleo (ou núcleo) de
é o conjunto
É o conjunto de vetores que são levados ao vetor nulo por
.
- A imagem (ou espaço coluna) de
é
ou seja, todos os vetores
para os quais existe solução de
. Portanto, o sistema
tem solução se, e somente se,
.
- A relação dimensão nomeada Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imidade / rank-nullity) diz:
Aqui
é o posto (número de colunas linearmente independentes).
- Uma matriz quadrada
é invertível (tem inversa) se, e somente se, . Quando é invertível, ela mapeia sobre todo , então e .
Esses fatos são básicos e vamos aplicá‑los agora.
Passo 3
Usando que
, concluímos que
não é invertível. Vou traduzir o que isso implica em termos de posto e núcleo:
-
Se
, então . Como o posto é inteiro, isso significa . -
Pela fórmula da dimensão,
Logo
, o que significa que existe pelo menos um vetor não nulo
tal que
. Em outras palavras,
não é apenas
.
Isto já responde a respeito da afirmativa II: ela afirma que
. Mas mostramos que, se
, então
, ou seja,
contém vetores não nulos. Portanto a afirmativa II é falsa.
Passo 4
Agora vamos analisar a afirmativa I com mais calma:
-
A afirmativa I diz que para todo
o sistema tem solução, isto é, . -
Mas já sabemos que
. Como , a imagem de é um subespaço próprio de . Portanto não é possível que ; existem vetores que não estão na imagem e, para esses , o sistema não tem solução.
Logo a afirmativa I também é falsa.
Passo 5
Para fixar a intuição, veja um exemplo simples e concreto (que confirma os argumentos acima):
Escolha
como a matriz nula
(todas as entradas zero). Então
.
-
Para essa
temos para todo . Assim , claramente , então existem muitos (por exemplo ) para os quais não tem solução. Portanto I é falsa. -
Também para essa
temos , que é muito maior que . Portanto II é falsa.
Esse exemplo é extremo, mas qualquer matriz singular (
) terá comportamento semelhante no sentido de que nem todos os
são atingidos e o núcleo contém vetores não nulos.
Passo 6
Concluímos que ambas as afirmativas I e II são falsas quando
. Assim a alternativa correta é a (A): “Todas são falsas.”
Resposta
(A) Todas são falsas.