Sabemos a partir do Teorema 21 que, dentro de seu intervalo de convergência, a soma de uma série de potências é uma função contínua com derivadas de todas as ordens. Mas e quanto ao oposto? Se uma função f(x) tem derivadas de todas as ordens em um intervalo I, ela poderá ser expressa como uma série de potências em I? Se puder, quais serão seus coeficientes?

Passo 1

O enunciado pergunta se toda função que tem derivadas de todas as ordens num intervalo I (ou seja, C^∞) pode ser escrita como série de potências nesse intervalo e, em caso afirmativo, quais são os coeficientes dessa série.

Passo 2

Antes de mais nada, a representação por série de potências caracteriza as funções analíticas, isto é, aquelas que coincidem com sua série de Taylor em torno de um ponto. Ter derivadas de todas as ordens (C^∞) não garante que a série de Taylor convergente reproduza a função. Um contra-exemplo clássico é a função definida por
f(x)= e^-1/x^2,&xneq0, 0,&x=0,
que é C^∞ em todo R, mas sua série de Taylor em torno de 0 é identicamente zero e não coincide com f(x) quando x≠0.

Passo 3

Logo, a resposta é: somente funções analíticas (ou seja, aquelas cuja série de Taylor converge para a própria função no intervalo) admitem expansão em série de potências.
Quando f é analítica em torno de um ponto a, escrevemos
f(x)=sumn=0^infty an,(x-a)^n
e precisamos determinar cada coeficiente an.

Passo 4

Pela definição de série de Taylor, o coeficiente an vem da n-ésima derivada de f em a dividida por n!. Assim, temos
an=f^(n)(a)n!

Resposta

Somente se f for analítica (ou seja, sua série de Taylor converge para ela). Nesse caso, centrando em a, os coeficientes são
an=f^(n)(a)n!

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