1. sumn=1^infty n!3 cdot 6 cdot 9 cdots 3 n x^n
  2. sumn=1^infty(2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n-1))^2 x^n
  3. sumn=1^infty (n!)^22^n(2 n)! x^n
  4. sumn=1^infty(nn+1)^n^2 x^n
    (Sugestão: aplique o teste da raiz.)

Passo 1

Temos quatro séries de potências e o objetivo é encontrar o raio de convergência de cada uma usando o teste da raiz. Vamos precisar manipular produtos de termos, fatoriais e usar limites assintóticos (como o resultado $ (1+1/n)^n\to e $ e fórmulas de Stirling) para calcular (1+1/n)^nto e .

Passo 2

Para uma série sumn=1^infty an x^n, o teste da raiz diz que ela converge se
limsupntoinftyraiz[n]|an x^n|<1
Como
raiz[n]|an x^n|=raiz[n]|an|,|x|,
definimos
L=limsupntoinftyraiz[n]|an|
e o raio de convergência é
R=1L

Passo 3

Para a série 37:
an=n!3cdot6cdot9cdots(3n)=n!prodk=1^n(3k)
Mas
prodk=1^n(3k)=3^n,n! implies an=n!3^n n!=13^n
Logo
raiz[n]|an|=13,
o que dá
L=13 Rightarrow R=3

Passo 4

Para a série 38:
an=l(2cdot4cdot6cdots(2n)2cdot5cdot8cdots(3n-1)r)^2
Note que
2cdot4cdotcdots(2n)=2^n n!,
e heurística semelhante mostra
2cdot5cdot8cdots(3n-1)=prodk=1^n(3k-1)sim3^n n!
Assim
ansiml(2^n n!3^n n!r)^2=l(23r)^2n=l(49r)^n
Então
raiz[n]|an|to49,
o que dá
L=49Rightarrow R=94

Passo 5

Para a série 39:
an=(n!)^22^n(2n)!
Usando que via Stirling (ou coeficientes binomiais)
raiz[n](n!)^2siml(ner)^2, raiz[n](2n)!siml(2ner)^2,
temos
raiz[n]an=(n!)^2/n2,( (2n)! )^1/nsim(n/e)^22,(2n/e)^2=18
Logo
L=18Rightarrow R=8

Passo 6

Para a série 40:
an=l(nn+1r)^n^2
Então
raiz[n]an=l(nn+1r)^n=l(1+1nr)^-nlongrightarrow e^-1
Fica
L=e^-1Rightarrow R=e

Resposta

R_{37}=3, R_{38}=\tfrac{9}{4}, R_{39}=8, R_{40}=e

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