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(Sugestão: aplique o teste da raiz.)
(Sugestão: aplique o teste da raiz.)
Passo 1
Temos quatro séries de potências e o objetivo é encontrar o raio de convergência de cada uma usando o teste da raiz. Vamos precisar manipular produtos de termos, fatoriais e usar limites assintóticos (como o resultado $ (1+1/n)^n\to e $ e fórmulas de Stirling) para calcular
.
Passo 2
Para uma série
, o teste da raiz diz que ela converge se
Como
definimos
e o raio de convergência é
Passo 3
Para a série 37:
Mas
Logo
o que dá
Passo 4
Para a série 38:
Note que
e heurística semelhante mostra
Assim
Então
o que dá
Passo 5
Para a série 39:
Usando que via Stirling (ou coeficientes binomiais)
temos
Logo
Passo 6
Para a série 40:
Então
Fica
Resposta
R_{37}=3, R_{38}=\tfrac{9}{4}, R_{39}=8, R_{40}=e