Sabemos que as proteínas dos ovos crus são coaguladas quando são aquecidas até
processo industrial para a obtenção de cubos de ovos é baseado no tratamento térmico de bandejas de ovo líquido com uma corrente de vapor. As bandejas possuem dimensões de
de profundidade; a camada de ovo líquido é igual a 1 cm de espessura; a condutividade térmica do ovo líquido é igual a
, a densidade é igual a
, o calor específico é
, o coeficiente convectivo de transferência de calor entre o vapor e a superfície da bandeja é igual a
e a temperatura inicial do ovo líquido é
.
Quanto tempo será necessário para cozinhar o ovo líquido nas condições a seguir?
Quanto tempo será necessário para cozinhar o ovo líquido nas condições a seguir?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados do problema (retirei estes valores do enunciado):
- Dimensões da bandeja:
(apenas para referência geométrica; a camada de ovo interessa). - Espessura da camada de ovo líquido:
. - Condutividade térmica:
. - Densidade:
. - Calor específico:
. - Coeficiente convectivo entre vapor e superfície:
. - Temperatura inicial do ovo líquido:
. - Temperatura de coagulação (alvo):
. - Temperatura do vapor (presumo vapor saturado à pressão ambiente):
. (O enunciado não deu explicitamente a temperatura do vapor; é razoável assumir para vapor saturado à pressão atmosférica. Vou explicar essa suposição quando for usada.)
- Dimensões da bandeja:
- O que o enunciado pede:
- Determinar o tempo necessário para “cozinhar” o ovo líquido — isto é, o tempo até que a parte mais fria do líquido atinja
nas condições dadas.
- Determinar o tempo necessário para “cozinhar” o ovo líquido — isto é, o tempo até que a parte mais fria do líquido atinja
Passo 2
Escolha do modelo físico e justificativa (explico o raciocínio de forma didática).
- Geometria e transferência de calor: a camada de ovo tem espessura
e está sendo aquecida por vapor na superfície superior. A face inferior está apoiada na bandeja; para muitos problemas industriais essa face funciona como isolamento térmico (ou, pelo menos, não recebe vapor diretamente). Um modelo matemático simples e apropriado: uma barra (placa) unidimensional para com , onde é a face inferior (aproximadamente isolada) e a face superior exposta ao vapor com convecção e temperatura ambiente . - Técnica matemática útil: é padrão transformar esse problema (placa espessura
com uma face isolada e outra convectiva) em um problema equivalente de placa de espessura com convecção nas duas faces e simetria no centro. Assim podemos usar as soluções clássicas de condução transiente em placa com convecção nas duas faces — essas soluções estão em forma de séries de autovalores. O ponto mais frio será o centro da placa equivalente (corresponde à face isolada no problema original), então controlar a temperatura do centro garante que toda a camada atingiu a temperatura desejada. - Observação sobre temperatura do vapor: o enunciado não deu explicitamente
, mas fluxos de vapor saturado típicos correspondem a . Tomarei isso como hipótese explícita.
Passo 3
Cálculo da difusividade térmica e verificação rápida se o sistema pode ser tratado pela hipótese do corpo homogêneo (método de capacidade térmica lumped).
- Difusividade térmica
(define quão rápido o calor se difunde no material):
- Substituindo os valores:
- Para saber se podemos usar o método lumped (modelo de corpo rígido, temperatura uniforme), calcula-se o número de Biot:
onde
é o comprimento característico. Para uma placa com convecção numa face e isolamento na outra (equivalente à placa com convecção nas duas faces) o comprimento característico é o semi-espessura
. Assim
- Interpretação: como
, a resistência térmica interna (condução dentro do ovo) domina e a hipótese de temperatura uniforme (lumped) NÃO é válida. Portanto precisamos usar a solução transiente de condução unidimensional com convecção na superfície.
Passo 4
Apresento a solução teórica que vou usar (passo a passo, ensinando cada símbolo).
- Definição de temperatura adimensional (normaliza valores para facilitar):
Aqui:
-
é a temperatura no ponto e tempo . -
é a temperatura inicial uniforme ( ). -
é a temperatura do fluido externo ( ). - Para a placa simétrica de semi-espessura
com convecção nas faces, a solução para a temperatura no centro ( ) em termos de séries de autovalores é:
onde
-
é o número de Fourier (quantifica tempo adimensional), -
são as raízes positivas da equação característica
com
,
- os coeficientes
são dados por
- Na prática costuma-se usar a aproximação de primeiro termo (o primeiro autovalor
domina) quando os demais termos estão rapidamente atenuados. Então usamos
- Objetivo: encontrar o tempo
tal que . Em termos de ,
Passo 5
Calcular os valores numéricos necessários:
e o autovalor
(aproximação para Bi grande).
- Primeiro
:
- Para
(valor do Passo 3) a equação tem a primeira raiz próxima de com pequeno. Uma aproximação útil para quando é grande é
- Assim,
- Agora o coeficiente
:
Calculemos aproximadamente:
-
. -
. - Denominador:
(observe que aproxima ). - Numerador:
. - Assim
(Essa aproximação
é conhecida no caso limite de superfícies mantidas à temperatura do fluido.)
Passo 6
Determinar o número de Fourier necessário a partir de
Rearranjando para
:
- Substituindo números:
-
. -
. -
. - Razão:
- Logaritmo:
-
- Portanto
Passo 7
Converter
em tempo real
.
- Lembre que
. Logo
- Substituindo
, , e :
- Calcule o denominador:
- Assim
Em unidades práticas:
Passo 8
Verificação rápida da validade da aproximação de um termo e comentários finais (didática e incentivo).
- Por que o primeiro termo bastou? Os termos seguintes têm autovalores
próximos a e seus quadrados são muito maiores que . O fator exponencial para decai muito mais rápido, então a contribuição do segundo termo é pequena para o que encontramos. Dado que é muito grande, o primeiro modo domina o comportamento transient longo. - Observações práticas:
- Assumi
. Se o vapor estiver a temperatura diferente, refazer os cálculos com esse altera e o tempo. - Esse resultado dá o tempo aproximado até que o ponto mais frio (o centro, no nosso modelo) atinja
. Na prática, superfícies e pequenas variações podem alterar um pouco o tempo.
- Assumi
- Você encarou bem a questão: ver Bi, escolher modelo, trabalhar com
e usar o primeiro termo — é a receita padrão em provas para esse tipo de problema. Vai dar certo!