Sabemos que as proteínas dos ovos crus são coaguladas quando são aquecidas até 72^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{Um} processo industrial para a obtenção de cubos de ovos é baseado no tratamento térmico de bandejas de ovo líquido com uma corrente de vapor. As bandejas possuem dimensões de 30 \times 30 \mathrm{~cm} \times 2 \mathrm{~cm} de profundidade; a camada de ovo líquido é igual a 1 cm de espessura; a condutividade térmica do ovo líquido é igual a 0,45 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}, a densidade é igual a 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, o calor específico é 3,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \mathrm{K}, o coeficiente convectivo de transferência de calor entre o vapor e a superfície da bandeja é igual a 5000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} e a temperatura inicial do ovo líquido é 2{ }^{\circ} \mathrm{C}.
Quanto tempo será necessário para cozinhar o ovo líquido nas condições a seguir?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados do problema (retirei estes valores do enunciado):
    • Dimensões da bandeja: 30\\ \mathrm{cm}\times30\\ \mathrm{cm}\times2\\ \mathrm{cm} (apenas para referência geométrica; a camada de ovo interessa).
    • Espessura da camada de ovo líquido: 1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica: k=0{,}45\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
    • Densidade: \rho=800\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
    • Calor específico: c=3{,}8\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}=3800\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
    • Coeficiente convectivo entre vapor e superfície: h=5000\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
    • Temperatura inicial do ovo líquido: T_i=2{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de coagulação (alvo): T_{\text{coag}}=72{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do vapor (presumo vapor saturado à pressão ambiente): T_\infty\approx100{,}0\,^\circ\mathrm{C}. (O enunciado não deu explicitamente a temperatura do vapor; é razoável assumir 100{,}^\circ\mathrm{C} para vapor saturado à pressão atmosférica. Vou explicar essa suposição quando for usada.)
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o tempo necessário para “cozinhar” o ovo líquido — isto é, o tempo até que a parte mais fria do líquido atinja T_{\text{coag}}=72{,}^\circ\mathrm{C} nas condições dadas.

Passo 2

Escolha do modelo físico e justificativa (explico o raciocínio de forma didática).
  • Geometria e transferência de calor: a camada de ovo tem espessura 1\\ \mathrm{cm} e está sendo aquecida por vapor na superfície superior. A face inferior está apoiada na bandeja; para muitos problemas industriais essa face funciona como isolamento térmico (ou, pelo menos, não recebe vapor diretamente). Um modelo matemático simples e apropriado: uma barra (placa) unidimensional para 0\le x\le L com L=0{,}01\\ \mathrm{m}, onde x=0 é a face inferior (aproximadamente isolada) e x=L a face superior exposta ao vapor com convecção h e temperatura ambiente T_\infty.
  • Técnica matemática útil: é padrão transformar esse problema (placa espessura L com uma face isolada e outra convectiva) em um problema equivalente de placa de espessura 2L com convecção nas duas faces e simetria no centro. Assim podemos usar as soluções clássicas de condução transiente em placa com convecção nas duas faces — essas soluções estão em forma de séries de autovalores. O ponto mais frio será o centro da placa equivalente (corresponde à face isolada no problema original), então controlar a temperatura do centro garante que toda a camada atingiu a temperatura desejada.
  • Observação sobre temperatura do vapor: o enunciado não deu explicitamente T_\infty, mas fluxos de vapor saturado típicos correspondem a T_\infty\approx100{,}^\circ\mathrm{C}. Tomarei isso como hipótese explícita.

Passo 3

Cálculo da difusividade térmica e verificação rápida se o sistema pode ser tratado pela hipótese do corpo homogêneo (método de capacidade térmica lumped).
  • Difusividade térmica \alpha (define quão rápido o calor se difunde no material):
\alpha=\frac{k}{\rho c}.
  • Substituindo os valores:
\alpha=\frac{0{,}45}{800\cdot3800}=\frac{0{,}45}{3{,}040{,}000}\\ \mathrm{m^{2}/s}\approx1{,}4803\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Para saber se podemos usar o método lumped (modelo de corpo rígido, temperatura uniforme), calcula-se o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico. Para uma placa com convecção numa face e isolamento na outra (equivalente à placa com convecção nas duas faces) o comprimento característico é o semi-espessura L=0{,}01\\ \mathrm{m}. Assim
\mathrm{Bi}=\frac{5000\cdot0{,}01}{0{,}45}=\frac{50}{0{,}45}\approx111{,}11.
  • Interpretação: como \mathrm{Bi}\gg0{,}1, a resistência térmica interna (condução dentro do ovo) domina e a hipótese de temperatura uniforme (lumped) NÃO é válida. Portanto precisamos usar a solução transiente de condução unidimensional com convecção na superfície.

Passo 4

Apresento a solução teórica que vou usar (passo a passo, ensinando cada símbolo).
  • Definição de temperatura adimensional (normaliza valores para facilitar):
\theta(x,t)=\frac{T(x,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}.
Aqui:
  • T(x,t) é a temperatura no ponto x e tempo t.
  • T_i é a temperatura inicial uniforme ( 2{,}^\circ\mathrm{C}).
  • T_\infty é a temperatura do fluido externo ( \approx100{,}^\circ\mathrm{C}).
  • Para a placa simétrica de semi-espessura L com convecção nas faces, a solução para a temperatura no centro ( x=0) em termos de séries de autovalores é:
\theta(0,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \exp\!\big(-\zeta_n^{\,2}\,\mathrm{Fo}\big),
onde
  • \mathrm{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L^{2}} é o número de Fourier (quantifica tempo adimensional),
  • \zeta_n são as raízes positivas da equação característica
\zeta\tan\zeta=\mathrm{Bi},
com \mathrm{Bi}=hL/k,
  • os coeficientes A_n são dados por
A_n=\frac{4\sin\zeta_n}{2\zeta_n+\sin(2\zeta_n)}.
  • Na prática costuma-se usar a aproximação de primeiro termo (o primeiro autovalor n=1 domina) quando os demais termos estão rapidamente atenuados. Então usamos
\theta(0,t)\approx A_1\exp\!\big(-\zeta_1^{\,2}\mathrm{Fo}\big).
  • Objetivo: encontrar o tempo t tal que T(0,t)=T_{\text{coag}}=72{,}^\circ\mathrm{C}. Em termos de \theta,
\theta_{\text{alvo}}=\frac{T_{\text{coag}}-T_\infty}{T_i-T_\infty}.

Passo 5

Calcular os valores numéricos necessários: \theta_{\text{alvo}} e o autovalor \zeta_1 (aproximação para Bi grande).
  • Primeiro \theta_{\text{alvo}}:
\theta_{\text{alvo}}=\frac{72-100}{2-100}=\frac{-28}{-98}=\frac{28}{98}=0{,}285714\ldots
  • Para \mathrm{Bi}\approx111{,}11 (valor do Passo 3) a equação \zeta\tan\zeta=\mathrm{Bi} tem a primeira raiz próxima de \zeta_1\approx\pi/2-\delta com \delta pequeno. Uma aproximação útil para \delta quando \mathrm{Bi} é grande é
\delta\approx\frac{\pi/2}{\mathrm{Bi}}.
  • Assim,
\delta\approx\frac{1{,}5708}{111{,}11}\approx0{,}014137,
\zeta_1\approx\frac{\pi}{2}-\delta\approx1{,}5708-0{,}014137\approx1{,}55666.
  • Agora o coeficiente A_1:
A_1=\frac{4\sin\zeta_1}{2\zeta_1+\sin(2\zeta_1)}.
Calculemos aproximadamente:
  • \sin\zeta_1\approx\sin\big(\tfrac{\pi}{2}-\delta\big)=\cos\delta\approx0{,}999900.
  • \sin(2\zeta_1)=\sin(\pi-2\delta)=\sin(2\delta)\approx2\delta\approx0{,}028274.
  • Denominador: 2\zeta_1+\sin(2\zeta_1)\approx3{,}11332+0{,}028274\approx3{,}14159 (observe que aproxima \pi).
  • Numerador: 4\sin\zeta_1\approx3{,}9996.
  • Assim
A_1\approx\frac{3{,}9996}{3{,}14159}\approx1{,}27307\approx\frac{4}{\pi}.
(Essa aproximação A_1\approx4/\pi é conhecida no caso limite de superfícies mantidas à temperatura do fluido.)

Passo 6

Determinar o número de Fourier necessário a partir de
\theta_{\text{alvo}}\approx A_1\exp\!\big(-\zeta_1^{\,2}\mathrm{Fo}\big).
Rearranjando para \mathrm{Fo}:
\mathrm{Fo}=-\frac{1}{\zeta_1^{\,2}}\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{alvo}}}{A_1}\right).
  • Substituindo números:
    • \theta_{\text{alvo}}=0{,}285714.
    • A_1\approx1{,}27307.
    • \zeta_1\approx1{,}55666\Rightarrow \zeta_1^{\,2}\approx2{,}42331.
    • Razão: \dfrac{\theta_{\text{alvo}}}{A_1}\approx\dfrac{0{,}285714}{1{,}27307}\approx0{,}22454.
    • Logaritmo: \ln(0{,}22454)\approx-1{,}49314.
  • Portanto
\mathrm{Fo}\approx\frac{1{,}49314}{2{,}42331}\approx0{,}6160.

Passo 7

Converter \mathrm{Fo} em tempo real t.
  • Lembre que \mathrm{Fo}=\dfrac{\alpha t}{L^{2}}. Logo
t=\frac{\mathrm{Fo}\,L^{2}}{\alpha}.
  • Substituindo L=0{,}01\\ \mathrm{m}, L^{2}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, \alpha\approx1{,}4803\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}/s} e \mathrm{Fo}\approx0{,}6160:
t\approx0{,}6160\cdot\frac{1{,}0\times10^{-4}}{1{,}4803\times10^{-7}}\\ \mathrm{s}.
  • Calcule o denominador:
\frac{1{,}0\times10^{-4}}{1{,}4803\times10^{-7}}\approx675{,}0.
  • Assim
t\approx0{,}6160\cdot675{,}0\\ \mathrm{s}\approx415{,}8\\ \mathrm{s}.
Em unidades práticas:
t\approx416\\ \mathrm{s}\approx6{,}93\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Verificação rápida da validade da aproximação de um termo e comentários finais (didática e incentivo).
  • Por que o primeiro termo bastou? Os termos seguintes têm autovalores \zeta_2,\zeta_3,\ldots próximos a 3\pi/2,5\pi/2,\ldots e seus quadrados são muito maiores que \zeta_1^{2}. O fator exponencial \exp(-\zeta_n^{2}\mathrm{Fo}) para n\ge2 decai muito mais rápido, então a contribuição do segundo termo é pequena para o \mathrm{Fo} que encontramos. Dado que \mathrm{Bi} é muito grande, o primeiro modo domina o comportamento transient longo.
  • Observações práticas:
    • Assumi T_\infty\approx100{,}^\circ\mathrm{C}. Se o vapor estiver a temperatura diferente, refazer os cálculos com esse T_\infty altera \theta_{\text{alvo}} e o tempo.
    • Esse resultado dá o tempo aproximado até que o ponto mais frio (o centro, no nosso modelo) atinja 72{,}^\circ\mathrm{C}. Na prática, superfícies e pequenas variações podem alterar um pouco o tempo.
  • Você encarou bem a questão: ver Bi, escolher modelo, trabalhar com \theta e usar o primeiro termo — é a receita padrão em provas para esse tipo de problema. Vai dar certo!

Resposta

t\approx416\\ \mathrm{s}\approx6{,}93\\ \mathrm{min}

Exercícios relacionados