O tamanho em que se corta a batata é importante na velocidade de cozimento das mesmas. Assim, obtiveram-se três formas diferentes, com a exigência de que todos tivessem a mesma massa de 5 g de batata crua: (c) cilindro com comprimento de
) disco fino com diâmetro de 4 cm. As peças se encontram inicialmente a temperatura inicial igual a
e são imersas em água fervendo a pressão ambiente. Nas condições de operação, o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a água e os cortes de batata é igual a
e as propriedades termofísicas da batata são consideradas constantes durante o cozimento e são:
. Determine o tempo para que a temperatura do centro de cada peça alcance
. Qual é o melhor corte para se obter uma cocção mais rápida?
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, bem claro (sem resolver ainda):
-
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Massa de cada peça:
. - Peças:
- cilindro com comprimento
; - disco fino com diâmetro
.
- cilindro com comprimento
- Temperaturas:
- temperatura inicial
, - temperatura do banho
, - temperatura alvo no centro
.
- temperatura inicial
- Coeficiente de convecção:
. - Propriedades térmicas da batata (constantes):
- densidade
, - condutividade
, - calor específico
.
- densidade
- Massa de cada peça:
-
O que se pede:
- determinar o tempo para que a temperatura do centro de cada peça atinja
; - dizer qual corte fornece cocção mais rápida.
- determinar o tempo para que a temperatura do centro de cada peça atinja
Passo 2
Conversões e quantidades comuns que vamos usar (com explicação curta):
- Converter massa e densidade para unidades SI:
- Volume da peça (mesma massa e densidade para todas):
(é o volume total de batata em cada peça) - Calor específico em SI:
- Difusividade térmica (importante para condução transiente):
Explicação rápida: mede a velocidade com que calor se propaga no sólido; aparece no número de Fourier Fo usado em soluções transientes. - Normalização da temperatura (para trabalhar com soluções conhecidas):
Para o centro alcançar : Ou seja precisamos de : a temperatura central deve chegar a metade do “desvio” inicial para o banho.
Passo 3
Estratégia de resolução (por que usar esses métodos):
- Primeiro testar se podemos usar o método da capacitância lumped (modelo massa perfeitamente uniforme em temperatura) que é muito simples. A condição clássica é
, onde e (volume sobre área externa). - Se
, o campo de temperatura interno não é uniforme e precisamos usar soluções transientes de condução com termo convectivo na superfície. Para formas comuns há soluções analíticas (ou aproximações de primeiro termo das séries de Fourier/Bessel) — isto é equivalente ao uso dos gráficos de Heisler. Para peças finas, usa-se o modelo de chapa (slab); para palitos longos, usa-se o modelo de cilindro infinito (1‑D radial). - Vou calcular os
relevantes, justificar a aproximação de 1º termo (para grandes a superfície se aproxima de temperatura do banho e o primeiro autovalor tende ao caso de superfície a temperatura fixa), e então usar a aproximação de primeiro modo (fórmula exponencial simples em Fo) para o centro.
Passo 4
Cálculos geométricos e
— cilindro (comprimento
):
- Volume
já calculado. Para o cilindro o volume é . Assim Diâmetro (consistência: um palitinho comprido e fino). - Área externa (incluindo as duas tampas):
- Comprimento característico para lumped
: - Biot global (usado para decidir se lumped é válido):
Conclusão: lumped NÃO é válido. - Para o problema de condução radial no cilindro aparece o parâmetro convectivo baseado no raio
: Para grande, a superfície rapidamente fica próxima de e o primeiro autovalor da série tende ao primeiro zero de , que é . A solução de primeiro termo para a temperatura central do cilindro (aproximação de Heisler / primeiro modo) é, em termos do número de Fourier Explicando: a série completa tem termos e para tempos não extremamente curtos o primeiro termo domina; com superfície praticamente mantida em usamos . - Impor
e resolver para : Portanto - Substituindo valores:
Interpretação curta: cerca de
segundos para o centro do palito (cilindro) atingir
.
Passo 5
Cálculos geométricos e
— disco fino (diâmetro
):
- Raio do disco
. A área de uma face: - Espessura (thickness) do disco encontrada por
: Meia‑espessura (distância do centro até a face), usada no modelo de chapa: Observação: o disco é bem “fino” ( espessura), então é razoável tratar condução como unidimensional através da espessura (modelo de slab). - Área externa total aproximada (faces + borda):
e , logo lumped também inválido. - Para o modelo de chapa (slab) com convecção nas duas faces o parâmetro para o autovalor é
Para grande o primeiro autovalor tende a (caso de superfície mantida a ). A solução de primeiro termo para a temperatura central do slab é Com . - Impor
e resolver para :
- Substituindo valores:
Interpretação curta: o centro do disco fino atinge
em cerca de
segundos.
Passo 6
Comparação e justificativa final:
- Resultados numéricos (resumo):
- cilindro (palito longo):
; - disco fino:
.
- cilindro (palito longo):
- Justificativa física intuitiva: o disco é muito fino (meia‑espessura menor que o raio do cilindro), então o calor tem menor distância para atravessar até o centro; com convecção muito eficiente (
grande) a resistência convectiva na superfície é pequena e o tempo é ditado sobretudo pela condução interna sobre uma curta distância. Por isso o disco aquece o centro mais rápido. - Observação sobre aproximações: usei as aproximações de primeiro modo para as soluções transientes (Heisler / autovalores). Essas aproximações são adequadas porque os números de Bi relevantes (
para o cilindro e para o slab) são grandes, o que torna a condição de superfície próxima de e faz o primeiro termo dominar. Para maior precisão numérica (casos intermediários de Bi) seria preciso incluir mais termos da série ou resolver numericamente; aqui a aproximação é adequada e dá a ordem de grandeza e a comparação confiável entre os cortes.
Resposta
Cilindro (comprimento
):
Disco fino (diâmetro ):
Melhor corte para cocção mais rápida: disco fino
Disco fino (diâmetro
Melhor corte para cocção mais rápida: disco fino