Sabemos que a série harmônica
sumn=1^infty 1n=1+12+13+cdots diver>=
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador é um número ímpar. Essa série converge ou diverge?

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série harmônica modificada que inclui apenas termos de denominadores pares, ou seja, omitimos todos os termos ímpares. O conteúdo aqui é convergência de séries de termos positivos e vamos usar o fato de que a série harmônica original diverge e testes de comparação.

Passo 2

Reescrever a série omitindo os termos ímpares: como só mantemos os denominadores pares, podemos escrever n=2k com k inteiro positivo, o que dá a série sumk=1^infty 12k.

Passo 3

Fatorar a constante 1/2 fora da soma: pela propriedade de somas, temos
sumk=1^infty 12k = 12 sumk=1^infty 1k

Passo 4

Como a série harmônica sumk=1^infty 1k diverge e multiplicar por uma constante positiva não muda essa característica, concluímos que a série modificada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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