Sabemos que a série harmônica
Considere agora uma modificação da série harmônica obtida omitindo-se todos os termos cujo denominador é um número ímpar. Essa série converge ou diverge?
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos estudar a convergência da série harmônica modificada que inclui apenas termos de denominadores pares, ou seja, omitimos todos os termos ímpares. O conteúdo aqui é convergência de séries de termos positivos e vamos usar o fato de que a série harmônica original diverge e testes de comparação.
Passo 2
Reescrever a série omitindo os termos ímpares: como só mantemos os denominadores pares, podemos escrever n=2k com k inteiro positivo, o que dá a série
.
Passo 3
Fatorar a constante 1/2 fora da soma: pela propriedade de somas, temos
Passo 4
Como a série harmônica
diverge e multiplicar por uma constante positiva não muda essa característica, concluímos que a série modificada também diverge.
Resposta
A série diverge.