Calcular , sendo o círculo de centro na origem e raio 5.
Fazer mudança para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede calcular o integral dupla no disco de centro na origem e raio 5, usando mudança para coordenadas polares. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas polares e o Jacobiano.
Passo 2
A transformação para coordenadas polares é dada por e . Nesse sistema, o elemento de área fica devido ao Jacobiano.
O integrando em polares vira , e a região corresponde a e . Assim a integral fica:
Passo 3
Primeiro calculamos a integral em :
Depois a integral em theta é simples:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Passo 4
Multiplicando o resultado da integral em r pelo da integral em theta, fica: