Calcular I=integral duplaD(x^2+y^2) d x d y, sendo D o círculo de centro na origem e raio 5.
Fazer mudança para coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral dupla I = integral duplaD (x^2 + y^2),dx,dy no disco de centro na origem e raio 5, usando mudança para coordenadas polares. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas polares e o Jacobiano.

Passo 2

A transformação para coordenadas polares é dada por x = rcostheta e y = rsintheta. Nesse sistema, o elemento de área fica dx,dy = r,dr,dtheta devido ao Jacobiano.
O integrando x^2 + y^2 em polares vira r^2, e a região D corresponde a 0 <= r <= 5 e 0 <= theta <= 2pi. Assim a integral fica:
I = integral0^2pi integral0^5 r^2 cdot r ,dr,dtheta = integral0^2pi integral0^5 r^3 ,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro calculamos a integral em r:
integral0^5 r^3 ,dr = r^44|0^5 = 5^44 = 6254
Depois a integral em theta é simples:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 4

Multiplicando o resultado da integral em r pelo da integral em theta, fica:
I = 2pi cdot 6254

Resposta

625pi2

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