Resolva as seguintes equações diferenciais usando o método de separação de variáveis, após fazer uma mudança de variáveis apropriada:
(2 x+3 y-1) d x+(4 x+6 y-5) d y=0. Resp: x+2 y+3 ln |2 x+3 y-7|=c.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO (2x+3y-1),dx + (4x+6y-5),dy = 0 por separação de variáveis, fazendo antes uma mudança de variáveis adequada. O conteúdo principal é identificar uma combinação linear que torne a equação separável.

Passo 2

Observamos que 4x+6y-5 = 2(2x+3y-1)-3. Então podemos escrever a equação como
(2x+3y-1),dx + l(2(2x+3y-1)-3r),dy = 0 que se reorganiza em
(2x+3y-1),(dx + 2,dy) = 3,dy

Passo 3

Definimos a nova variável t = x + 2y. Então temos dt = dx + 2,dy e
2x+3y-1 = 2(t-2y) +3y -1 = 2t -y -1

Passo 4

Substituindo na equação obtemos
(2t - y -1),dt = 3,dy ou seja
dydt + 13y = 23t - 13

Passo 5

Essa é uma EDO linear em y(t). O fator integrante é
mu(t) = e^integral 13,dt = e^t/3

Passo 6

Multiplicando e integrando obtemos
y,e^t/3 = integral e^t/3l(tfrac23t - tfrac13r)dt = (2t-7)e^t/3 + C

Passo 7

Desfazendo,
y = 2t -7 + C e^-t/3, ou ainda
y - 2(x+2y) +7 = C e^-(x+2y)/3

Passo 8

Mas y -2x -4y +7 = -(2x+3y-7), então
-(2x+3y-7)e^(x+2y)/3 = C Longrightarrow 2x+3y-7 = C' e^-(x+2y)/3 Tomando log e multiplicando por 3, chega-se à forma
x + 2y + 3lnl|2x+3y-7r| = constante

Resposta

x + 2y + 3 \ln\bigl|2x+3y-7\bigr| = C

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