Sabendo que o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é de 45^{\circ} determinar o ângulo formado pelos vetores:
-2 \vec{u} e \vec{v}

Passo 1

O enunciado diz que o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é \,45^\circ. A pergunta é: determinar o ângulo formado entre os vetores -2\vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes: o ângulo \angle(\vec{u},\vec{v}) = 45^\circ. pedido: \angle(-2\vec{u},\vec{v}).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): o ângulo \theta entre dois vetores \vec{a} e \vec{b} pode ser obtido pela fórmula do produto escalar:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.
Aqui \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (ou dot product) e \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{a}. Essa fórmula diz que o cosseno do ângulo é a razão entre o produto escalar e o produto das normas. É uma ferramenta padrão e direta para calcular ângulos entre vetores, porque relaciona direção (produto escalar) e tamanho (normas).

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao caso \vec{a}=-2\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}. Primeiro calculamos o produto escalar e as normas em termos de \vec{u} e \vec{v}:
(-2\vec{u})\cdot\vec{v} = -2(\vec{u}\cdot\vec{v}),
porque o produto escalar é linear em cada argumento. E as normas satisfazem
\| -2\vec{u}\| = |{-2}|\;\|\vec{u}\| = 2\|\vec{u}\|.
Agora substituímos na fórmula do cosseno:
\cos\theta'=\frac{(-2\vec{u})\cdot\vec{v}}{\| -2\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} =\frac{-2(\vec{u}\cdot\vec{v})}{2\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} =-\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Ou seja,
\cos\theta'=-\cos\angle(\vec{u},\vec{v}).

Passo 4

Sabemos que \angle(\vec{u},\vec{v})=45^\circ, então \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Usando o resultado do passo anterior:
\cos\theta'=-\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora precisamos achar \theta'=\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr). Sabendo que \operatorname{arccos}(-x)=180^\circ-\operatorname{arccos}(x) para x\in[0,1], obtemos
\theta' = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.

Passo 5

Interpretação geométrica (intuitiva e útil para prova): multiplicar \vec{u} por 2 só alonga o vetor (não muda a direção); multiplicar por -1 inverte a direção do vetor (vira o sentido oposto). Então -2\vec{u} tem a mesma linha de ação de \vec{u} mas apontando para o sentido oposto; o ângulo entre -2\vec{u} e \vec{v} é simplesmente o suplementar do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, isto é 180^\circ-45^\circ=135^\circ. Isso coincide com o cálculo algébrico acima. Vai por essa intuição na prova quando for rápido: sinal negativo vira o vetor, some 180^\circ.

Resposta

135^\circ

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