Sabendo que o ângulo formado entre os vetores
é de
determinar o ângulo formado pelos vetores:
Passo 1
O enunciado diz que o ângulo formado entre os vetores
e
é
. A pergunta é: determinar o ângulo formado entre os vetores
e
.
Informações relevantes: o ângulo
.
pedido:
.
Informações relevantes:
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): o ângulo
entre dois vetores
e
pode ser obtido pela fórmula do produto escalar:
Aqui
é o produto escalar (ou dot product) e
é o comprimento (norma) do vetor
. Essa fórmula diz que o cosseno do ângulo é a razão entre o produto escalar e o produto das normas. É uma ferramenta padrão e direta para calcular ângulos entre vetores, porque relaciona direção (produto escalar) e tamanho (normas).
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula ao caso
e
. Primeiro calculamos o produto escalar e as normas em termos de
e
:
porque o produto escalar é linear em cada argumento. E as normas satisfazem
Agora substituímos na fórmula do cosseno:
Ou seja,
Passo 4
Sabemos que
, então
. Usando o resultado do passo anterior:
Agora precisamos achar
. Sabendo que
para
, obtemos
Passo 5
Interpretação geométrica (intuitiva e útil para prova): multiplicar
por
só alonga o vetor (não muda a direção); multiplicar por
inverte a direção do vetor (vira o sentido oposto). Então
tem a mesma linha de ação de
mas apontando para o sentido oposto; o ângulo entre
e
é simplesmente o suplementar do ângulo entre
e
, isto é
. Isso coincide com o cálculo algébrico acima. Vai por essa intuição na prova quando for rápido: sinal negativo vira o vetor, some
.