Sabendo que o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é de 45^{\circ} determinar o ângulo formado pelos vetores:
\vec{u} e-\vec{v}

Passo 1

O enunciado diz que o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é \,45^\circ.
Queremos determinar o ângulo formado entre \vec{u} e -\vec{v}.
Informações dadas:
\theta=\text{ângulo entre }\vec{u}\text{ e }\vec{v}=45^\circ.â
O que se pede: encontrar \varphi= ângulo entre \vec{u} e -\vec{v}.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) a fórmula do produto escalar — isso é essencial para a prova e para entender o porquê do resultado.
Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (um número) entre \vec{a} e \vec{b};
  • \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a};
  • \|\vec{b}\| é o comprimento (norma) de \vec{b};
  • \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b};
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
    Essa fórmula nos permite relacionar produto escalar e ângulo entre vetores — peça chave aqui.

Passo 3

Aproveitamos a propriedade linear do produto escalar em relação a escalares: para qualquer vetor \vec{w} e escalar c,
\vec{u}\cdot(c\vec{w})=c(\vec{u}\cdot\vec{w}).
Aplicando com c=-1 e \vec{w}=\vec{v}, obtemos
\vec{u}\cdot(-\vec{v})=-\big(\vec{u}\cdot\vec{v}\big).
Agora escrevemos cada lado usando a fórmula do produto escalar em termos de ângulos. Se \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} e \varphi é o ângulo entre \vec{u} e -\vec{v}, então
\vec{u}\cdot(-\vec{v})=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\varphi
e
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.
Substituindo na relação linear:
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\varphi = -\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.

Passo 4

Se \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são positivos (normas de vetores não nulas), podemos dividir ambos os lados por \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\| e obter a relação simples entre cossenos:
\cos\varphi = -\cos\theta.
Isso significa que o cosseno do ângulo buscado é o negativo do cosseno do ângulo dado. Há uma identidade de cosseno útil aqui:
\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta.
Portanto, em termos de ângulos,
\varphi = \pi-\theta,
ou em graus,
\varphi = 180^\circ - \theta.
(Isto faz sentido geometricamente: inverter \vec{v} faz com que o ângulo com \vec{u} vire o suplemento do original.)

Passo 5

Agora substituímos o valor dado \theta=45^\circ:
\varphi = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.
Pequena intuição: se \vec{v} estava a 45^\circ à direita de \vec{u}, então -\vec{v} fica a 180^\circ dessa direção, ou seja a 135^\circ de \vec{u}.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (útil pra prova):
  • Se \theta=0^\circ (mesma direção), então \varphi=180^\circ (direções opostas).
  • Se \theta=90^\circ (perpendiculares), então \varphi=90^\circ (inverter um vetor ortogonal não muda a ortogonalidade).
    Isso confirma que a fórmula \varphi=180^\circ-\theta está coerente.

Resposta

135^\circ

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