Sabendo que o ângulo formado entre os vetores
é de
determinar o ângulo formado pelos vetores:
Passo 1
O enunciado diz que o ângulo formado entre os vetores
e
é
.
Queremos determinar o ângulo formado entre e
.
Informações dadas:
Queremos determinar o ângulo formado entre
Informações dadas:
O que se pede: encontrar
ângulo entre
e
.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) a fórmula do produto escalar — isso é essencial para a prova e para entender o porquê do resultado.
Para quaisquer vetores e
,
Para quaisquer vetores
onde:
-
é o produto escalar (um número) entre e ; -
é o comprimento (norma) de ; -
é o comprimento (norma) de ; -
é o ângulo entre e ; -
é o cosseno desse ângulo.
Essa fórmula nos permite relacionar produto escalar e ângulo entre vetores — peça chave aqui.
Passo 3
Aproveitamos a propriedade linear do produto escalar em relação a escalares: para qualquer vetor
e escalar
,
Aplicando com
e
, obtemos
Agora escrevemos cada lado usando a fórmula do produto escalar em termos de ângulos. Se
é o ângulo entre
e
e
é o ângulo entre
e
, então
e
Substituindo na relação linear:
Passo 4
Se
e
são positivos (normas de vetores não nulas), podemos dividir ambos os lados por
e obter a relação simples entre cossenos:
Isso significa que o cosseno do ângulo buscado é o negativo do cosseno do ângulo dado. Há uma identidade de cosseno útil aqui:
Portanto, em termos de ângulos,
ou em graus,
(Isto faz sentido geometricamente: inverter
faz com que o ângulo com
vire o suplemento do original.)
Passo 5
Agora substituímos o valor dado
:
Pequena intuição: se
estava a
à direita de
, então
fica a
dessa direção, ou seja a
de
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (útil pra prova):
- Se
(mesma direção), então (direções opostas). - Se
(perpendiculares), então (inverter um vetor ortogonal não muda a ortogonalidade).
Isso confirma que a fórmulaestá coerente.