Sabendo que o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é de 45^{\circ} determinar o ângulo formado pelos vetores:
-\vec{u} e-\vec{v}

Passo 1

O enunciado dá uma informação e pede outra. Informação dada: o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é \,45^\circ. Pergunta: qual é o ângulo formado entre os vetores -\vec{u} e -\vec{v}?
Anotei somente isso; não vou resolver ainda, só deixei claro o que é conhecido e o que se pede.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma e sem pânico) como se define o ângulo entre dois vetores, porque isso é a chave. Para dois vetores quaisquer \vec{a} e \vec{b}, a relação entre o produto escalar e o ângulo \theta entre eles é:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\theta.
Aqui:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (um número);
  • \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{a};
  • \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, tomado no intervalo [0,180^\circ];
  • Se quisermos achar \theta, isolamos \cos\theta:
\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.
Isso significa: se o produto escalar normalizado for igual para dois pares de vetores, os ângulos entre esses pares são iguais (considerando o intervalo padrão).

Passo 3

Agora aplicamos isso ao par -\vec{u} e -\vec{v}. Primeiro o produto escalar:
(-\vec{u})\cdot(-\vec{v}) = (-1)(-1)\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{v}.
Explicando: multiplicar um vetor por -1 inverte sua direção; no produto escalar aparecem dois fatores -1 que se cancelam, ficando o mesmo produto escalar de \vec{u} com \vec{v}.
As normas não mudam ao multiplicar por -1:
\|-\vec{u}\|=\|\vec{u}\|,\qquad \|-\vec{v}\|=\|\vec{v}\|.

Passo 4

Usando a fórmula da Passo 2 para o ângulo \theta' entre -\vec{u} e -\vec{v}, obtemos:
\cos\theta'=\dfrac{(-\vec{u})\cdot(-\vec{v})}{\|-\vec{u}\|\,\|-\vec{v}\|}=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
O lado direito é exatamente \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Portanto
\cos\theta'=\cos\theta.
Como o ângulo entre vetores é tomado no intervalo [0,180^\circ], se \cos\theta'=\cos\theta então \theta'=\theta. (Geometricamente: inverter ambos os vetores é como girar cada um 180^\circ; a diferença de direção entre eles não muda.)

Passo 5

Aplicando o resultado à nossa informação inicial \theta=45^\circ, segue que o ângulo entre -\vec{u} e -\vec{v} é igual a \theta. Vou deixar a resposta final apenas na seção indicada.

Resposta

\,45^\circ

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