Sabendo que o ângulo formado entre os vetores
é de
determinar o ângulo formado pelos vetores:
Passo 1
O enunciado dá uma informação e pede outra. Informação dada: o ângulo formado entre os vetores
e
é
. Pergunta: qual é o ângulo formado entre os vetores
e
?
Anotei somente isso; não vou resolver ainda, só deixei claro o que é conhecido e o que se pede.
Anotei somente isso; não vou resolver ainda, só deixei claro o que é conhecido e o que se pede.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma e sem pânico) como se define o ângulo entre dois vetores, porque isso é a chave. Para dois vetores quaisquer
e
, a relação entre o produto escalar e o ângulo
entre eles é:
Aqui:
-
é o produto escalar (um número); -
é o comprimento (norma) do vetor ; -
é o ângulo entre e , tomado no intervalo ; - Se quisermos achar
, isolamos :
Isso significa: se o produto escalar normalizado for igual para dois pares de vetores, os ângulos entre esses pares são iguais (considerando o intervalo padrão).
Passo 3
Agora aplicamos isso ao par
e
. Primeiro o produto escalar:
Explicando: multiplicar um vetor por
inverte sua direção; no produto escalar aparecem dois fatores
que se cancelam, ficando o mesmo produto escalar de
com
.
As normas não mudam ao multiplicar por
:
Passo 4
Usando a fórmula da Passo 2 para o ângulo
entre
e
, obtemos:
O lado direito é exatamente
, onde
é o ângulo entre
e
. Portanto
Como o ângulo entre vetores é tomado no intervalo
, se
então
. (Geometricamente: inverter ambos os vetores é como girar cada um
; a diferença de direção entre eles não muda.)
Passo 5
Aplicando o resultado à nossa informação inicial
, segue que o ângulo entre
e
é igual a
. Vou deixar a resposta final apenas na seção indicada.