Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
© -u e-v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus. A gente precisa descobrir qual é o ângulo entre os vetores -u e -v. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente sobre como a direção dos vetores afeta o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar um vetor por -1 simplesmente inverte sua direção, mas não muda seu tamanho. Então, -u aponta na direção oposta a u e -v aponta na direção oposta a v.

Passo 3

Agora, vamos pensar no ângulo entre -u e -v. Como ambos os vetores foram invertidos, a orientação relativa entre eles permanece a mesma. Isso significa que o ângulo entre eles não muda, porque só a direção individual de cada vetor foi invertida, não a posição relativa entre eles.

Passo 4

Para confirmar isso matematicamente, podemos usar a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| , |v| cos(theta)
Substituindo u por -u e v por -v, temos:
(-u) cdot (-v) = (-1)(-1)(u cdot v) = u cdot v
Portanto, o cosseno do ângulo entre -u e -v é o mesmo que o cosseno do ângulo entre u e v, o que significa que o ângulo permanece o mesmo.

Resposta

O ângulo entre os vetores -u e -v é de 60 graus.

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