Seja
e
um subsespaço de
. Determine a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em polinômios de grau até 15, ou seja,
. Para um polinômio
pertencer a
, ele precisa satisfazer duas condições:
- A integral de
de 0 a 3 deve ser igual a zero: - A derivada de
em deve ser zero:
Nosso objetivo é descobrir a dimensão de
. Isso significa determinar quantas “direções independentes” existem nesse conjunto dentro do espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o espaço de todos os polinômios reais de grau até 15. A dimensão desse espaço é 16, porque temos polinômios desde o grau 0 até o 15, totalizando 16 coeficientes independentes.
Passo 3
Agora,
é definido por duas condições lineares sobre os polinômios de
. Cada condição pode ser vista como uma restrição que “corta” o espaço original, reduzindo sua dimensão.
A primeira condição é a integral ser zero:
A segunda condição é a derivada em 3 ser zero:
Passo 4
Como temos duas condições lineares, assumimos que elas são independentes, ou seja, uma não pode ser obtida a partir da outra. Isso significa que cada condição reduz a dimensão do espaço original em 1.
Então, cada condição reduz a dimensão em 1:
Resposta
A dimensão de
é 14.