Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
c) W=A=(ai j) in M3(R) mid ai j=0 se i neq j

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para verificarmos se o conjunto é um subespaço vetorial de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. Aqui, é definido como o conjunto de matrizes diagonais, ou seja, aquelas onde todos os elementos são zero quando . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições para que um conjunto seja considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em , a soma delas também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer matriz em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto das matrizes diagonais.

Passo 3

1. Contém o vetor zero: A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero. Como, para uma matriz diagonal, todos os elementos fora da diagonal já são zero, a matriz zero certamente está em .
2. Fechado sob adição: Vamos pegar duas matrizes quaisquer e em . Isso significa que e são diagonais, ou seja, e para . Quando somamos , os elementos fora da diagonal também serão zero, já que . Portanto, também é uma matriz diagonal e pertence a .
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Vamos pegar uma matriz em e um escalar . Multiplicando por , teremos , onde todos os elementos fora da diagonal permanecem zero, pois . Logo, também é uma matriz diagonal e está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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