Sabendo que a área da seção da garganta A_{2} é 8 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}, calcule a área na seção de montante do dispositivo A_{1}. Considerando o coeficiente de velocidade C_{v} de 0,5 , calcule: a velocidade real na garganta V_{2 r}, a velocidade real na seção de montante do dispositivo V_{1 r} e a vazāo real Q_{r}. Considerando a viscosidade cinemática v de 2 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, calcule o número de Reynolds na tubulação à montante do dispositivo (neste cálculo considere D_{1} \cong 2 \times 10^{-1} m ).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a área na seção de montante do dispositivo A_{1}.
  • Considerando o coeficiente de velocidade C_{v}=0,5, calcular:
    • a velocidade real na garganta V_{2r},
    • a velocidade real na seção de montante V_{1r},
    • a vazão real Q_{r}.
  • Calcular o número de Reynolds na tubulação à montante, usando a viscosidade cinemática \nu=2\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} e considerando D_{1}\approx 2\times10^{-1}\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos:
A_{2}=8\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}},\qquad C_{v}=0,5,\qquad \nu=2\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},\qquad D_{1}\approx 2\times10^{-1}\\ \mathrm{m}.
Observação importante (dados que faltam):
  • Para obter valores numéricos de V_{2r},\,V_{1r},\,Q_{r} e do número de Reynolds é necessário conhecer pelo menos uma das seguintes quantidades adicionais:
    • a vazão (teórica ou real) Q já conhecida; ou
    • a diferença de pressão \Delta p entre montante e a garganta (ou entre dois pontos) juntamente com a densidade do fluido \rho, que permite calcular a velocidade teórica pela equação de Bernoulli/orifício e então aplicar C_{v}; ou
    • a velocidade teórica/normais em alguma seção.
      Sem essa informação numérica extra não dá para calcular numericamente V_{2r},\,V_{1r},\,Q_{r} nem Re. Vou, no entanto, calcular A_{1} (que é possível com D_{1}) e mostrar as fórmulas e relações que permitem obter V_{2r},\,V_{1r},\,Q_{r},\,Re assim que você fornecer Q ou \Delta p (e \rho, se for o caso).

Passo 2

Calcular A_{1} a partir do diâmetro fornecido D_{1}. A área de uma seção circular é dada por
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Aplicando para D_{1}=2\times10^{-1}\\ \mathrm{m}:
A_{1}=\frac{\pi (2\times10^{-1})^{2}}{4}=\frac{\pi (4\times10^{-2})}{4}=\pi\cdot 1\times10^{-2}.
Agora o valor numérico:
A_{1}=\pi\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 3{,}1416\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando razoavelmente:
A_{1}\approx 3{,}14\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Explicar o que é o coeficiente de velocidade C_{v} e as relações de continuidade que se usam aqui (aula rápida e prática).
  • Definição intuitiva de C_{v}: é a razão entre a velocidade real numa seção (obtida na prática) e a velocidade ideal/teórica calculada a partir de hipóteses de Bernoulli sem perdas: C_{v}=\frac{V_{\text{real}}}{V_{\text{teórica}}}.óEm particular, para a garganta (seção 2) temos: V_{2r}=C_{v}\,V_{2},onde V_{2} é a velocidade teórica calculada (por exemplo a partir de Bernoulli ou de um Q teórico).
  • Equação da continuidade (conservação de massa, incompressível, regime permanente): Q = A_{1}V_{1}=A_{2}V_{2},onde Q é a vazão volumétrica (ideal). Para as velocidades reais a mesma continuidade vale para a vazão real: Q_{r}=A_{1}V_{1r}=A_{2}V_{2r}.

Passo 4

Derivar expressões úteis que ligam V_{2r},\,V_{1r},\,Q_{r} entre si e a quantidades teóricas (para que você saiba o que calcular assim que fornecer o dado que falta).
  • Se V_{2} é a velocidade teórica na garganta (calculada por Bernoulli ou conhecida via Q), então a velocidade real na garganta é
V_{2r}=C_{v}\,V_{2}.
  • A vazão real é então
Q_{r}=A_{2}V_{2r}=A_{2}C_{v}V_{2}=C_{v}\,Q_{\text{teórica}},ó
onde Q_{\text{teórica}}=A_{2}V_{2}=A_{1}V_{1}ó.
  • A velocidade real a montante (seção 1) é obtida por continuidade com Q_{r}:
V_{1r}=\frac{Q_{r}}{A_{1}}=\frac{A_{2}V_{2r}}{A_{1}}=\frac{A_{2}}{A_{1}}\,V_{2r}.
  • Número de Reynolds na montante:
\mathrm{Re}=\frac{V_{1r}\,D_{1}}{\nu}.
Substituindo V_{1r}=\dfrac{A_{2}}{A_{1}}V_{2r} e V_{2r}=C_{v}V_{2} obtemos a expressão geral
\mathrm{Re}=\frac{D_{1}}{\nu}\cdot\frac{A_{2}}{A_{1}}\cdot C_{v}\,V_{2}.
Portanto, para calcular numericamente \mathrm{Re} precisamos conhecer V_{2} (velocidade teórica) ou diretamente V_{1r} ou Q_{r}.

Passo 5

Exemplificar rapidamente como obter V_{2} se você tiver a diferença de pressão \Delta p entre montante e garganta (fórmula padrão de orifício/vena):
  • A partir de Bernoulli (ou manipulação para um orifício), a velocidade teórica na garganta pode ser escrita como (precisa da densidade \rho):
V_{2}=\sqrt{\frac{2\,\Delta p}{\rho\left(1-\left(\dfrac{A_{2}}{A_{1}}\right)^{2}\right)}},
desde que a relação usada seja a apropriada para o arranjo (isto é a forma que aparece ao eliminar V_{1} via continuidade). Depois:
V_{2r}=C_{v}\,V_{2},\qquad Q_{r}=A_{2}V_{2r},\qquad V_{1r}=\frac{Q_{r}}{A_{1}},\qquad \mathrm{Re}=\frac{V_{1r}D_{1}}{\nu}.
Portanto, se você me der \Delta p e \rho (ou diretamente Q ou V_{2} teórica), eu calculo numérica e diretamente V_{2r},\,V_{1r},\,Q_{r} e \mathrm{Re}.

Resposta

A_{1}\approx 3{,}14\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}
Não é possível calcular numericamente V_{2r} sem conhecer a velocidade teórica V_{2} ou a vazão/pressão ( \Delta p e \rho).
Não é possível calcular numericamente V_{1r} sem V_{2} ou Q.
Não é possível calcular numericamente Q_{r} sem V_{2} ou Q.
Não é possível calcular numericamente \mathrm{Re} sem V_{1r} (logo sem V_{2} ou Q).

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