Um tanque tem base quadrada de 2,5 \mathrm{~m} de lado e contém 9 \mathrm{~m}^{3} de água. Qual deveria ser a altura de seus lados a fim de não haver perda de água, quando a aceleração é de 3,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} paralela a um par de lados? Re: 1,89 \mathrm{~m}

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que sabemos):
  • A base do tanque é quadrada com lado 2,5\\ \mathrm{m}.
  • O volume de água no tanque é 9\\ \mathrm{m}^3.
  • O tanque é acelerado com aceleração horizontal de 3,6\\ \mathrm{m/s}^2, paralela a um par de lados (ou seja, ao longo de um dos lados de comprimento 2,5\\ \mathrm{m}).
  • Queremos a altura mínima dos lados do tanque para que, durante essa aceleração, não haja perda de água (isto é, o nível inclinado não ultrapasse a borda mais alta).
  • Informação adicional usada: aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s}^2.

Passo 2

Conceito físico e razão do entalhe da superfície livre:
  • Quando um recipiente com fluido é acelerado horizontalmente, no referencial do recipiente aparece uma aceleração “inercial” oposta à aceleração real; assim a água “sente” uma aceleração efetiva resultante.
  • A superfície livre do líquido em equilíbrio no referencial acelerado fica plana e perpendicular ao vetor da aceleração efetiva \vec{g}_{\mathrm{eff}}=\vec{g}-\vec{a}.
  • Geometricamente, se \vec{a} é horizontal e \vec{g} é vertical, o ângulo \theta entre a superfície livre e a horizontal satisfaz
\tan\theta=\frac{a}{g}.
Explicação rápida: a inclinação da superfície corresponde à razão entre a componente horizontal e a componente vertical da aceleração efetiva — é por isso que aparece \tan\theta=a/g.

Passo 3

Altura média (profundidade média) quando não há aceleração:
  • A área da base é A=L^2 com L=2,5\\ \mathrm{m}, logo
A=(2,5)^2=6,25\\ \mathrm{m}^2.
  • A profundidade média inicial h_0 vem de V=A\cdot h_0, isto é
h_0=\frac{V}{A}=\frac{9}{6,25}.
  • Calculando:
h_0=1,44\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Forma da superfície inclinada e altura máxima:
  • Ao inclinar, a superfície pode ser descrita (ao longo da direção da aceleração, comprimento L) por uma reta; sua altura média sobre a base continua sendo h_0 (conservação de volume).
  • Colocando a origem no centro da base ao longo da direção x\in[-L/2,L/2], a altura do nível é
h(x)=h_0 + x\tan\theta.
  • A altura máxima ocorre em x=+L/2, portanto
h_{\max}=h_0 + \frac{L}{2}\tan\theta.
  • Para não haver perda de água, a altura dos lados deve ser ao menos h_{\max}.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo:
  • Primeiro calcule \tan\theta:
\tan\theta=\frac{a}{g}=\frac{3,6}{9,8}=0,3673469\ldots
  • Metade do comprimento é \dfrac{L}{2}=\dfrac{2,5}{2}=1,25\\ \mathrm{m}.
  • A elevação adicional no lado alto é
\Delta h=\frac{L}{2}\tan\theta=1,25\cdot 0,3673469\ldots=0,4591837\ldots\\ \mathrm{m}.
  • A altura máxima do nível é
h_{\max}=h_0+\Delta h=1,44+0,4591837\ldots=1,8991837\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para duas casas decimais (prática usual em medidas), temos
h_{\max}\approx 1,90\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo:
  • Portanto, para garantir que durante a aceleração de 3,6\\ \mathrm{m/s}^2 a água não transborde, os lados do tanque devem ter altura pelo menos igual a h_{\max} calculado acima.
  • Boa! Já dá pra usar isso direto na prova: calcule a profundidade média pelo volume dividido pela base, ache \tan\theta=a/g, e some a metade do comprimento vezes \tan\theta à profundidade média — resultado é a altura exigida.

Resposta

\,1,90\\ \mathrm{m}

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