Um tanque tem base quadrada de
de lado e contém
de água. Qual deveria ser a altura de seus lados a fim de não haver perda de água, quando a aceleração é de
paralela a um par de lados? Re:
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que sabemos):
- A base do tanque é quadrada com lado
. - O volume de água no tanque é
. - O tanque é acelerado com aceleração horizontal de
, paralela a um par de lados (ou seja, ao longo de um dos lados de comprimento ). - Queremos a altura mínima dos lados do tanque para que, durante essa aceleração, não haja perda de água (isto é, o nível inclinado não ultrapasse a borda mais alta).
- Informação adicional usada: aceleração da gravidade
.
Passo 2
Conceito físico e razão do entalhe da superfície livre:
- Quando um recipiente com fluido é acelerado horizontalmente, no referencial do recipiente aparece uma aceleração “inercial” oposta à aceleração real; assim a água “sente” uma aceleração efetiva resultante.
- A superfície livre do líquido em equilíbrio no referencial acelerado fica plana e perpendicular ao vetor da aceleração efetiva
. - Geometricamente, se
é horizontal e é vertical, o ângulo entre a superfície livre e a horizontal satisfaz
Explicação rápida: a inclinação da superfície corresponde à razão entre a componente horizontal e a componente vertical da aceleração efetiva — é por isso que aparece
.
Passo 3
Altura média (profundidade média) quando não há aceleração:
- A área da base é
com , logo
- A profundidade média inicial
vem de , isto é
- Calculando:
Passo 4
Forma da superfície inclinada e altura máxima:
- Ao inclinar, a superfície pode ser descrita (ao longo da direção da aceleração, comprimento
) por uma reta; sua altura média sobre a base continua sendo (conservação de volume). - Colocando a origem no centro da base ao longo da direção
, a altura do nível é
- A altura máxima ocorre em
, portanto
- Para não haver perda de água, a altura dos lados deve ser ao menos
.
Passo 5
Cálculos numéricos passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Metade do comprimento é
. - A elevação adicional no lado alto é
- A altura máxima do nível é
- Arredondando para duas casas decimais (prática usual em medidas), temos
Passo 6
Interpretação final e incentivo:
- Portanto, para garantir que durante a aceleração de
a água não transborde, os lados do tanque devem ter altura pelo menos igual a calculado acima. - Boa! Já dá pra usar isso direto na prova: calcule a profundidade média pelo volume dividido pela base, ache
, e some a metade do comprimento vezes à profundidade média — resultado é a altura exigida.