Um cilindro aberto, de 1 m de altura e 0,7 \mathrm{~m} de diâmetro, no início contêm água a uma altura de 0,7 \mathrm{~m}. Qual é a máxima velocidade angular de giro do cilindro, no centro do diâmetro, sem perder água? Re: 9,8 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dimensões do cilindro:
    • altura do cilindro =1{,}00\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro do cilindro =0{,}70\\ \mathrm{m}.
  • Estado inicial do líquido:
    • altura inicial da água dentro do cilindro =0{,}70\\ \mathrm{m}.
  • Eixo de rotação (conforme o enunciado): o cilindro é girado em torno do centro do diâmetro, ou seja, em torno do eixo que passa pelo centro da base circular (interpretamos isso como o eixo central vertical do cilindro).
  • O que se pede: a máxima velocidade angular \omega_{\max} (em \mathrm{rad/s}) com que o cilindro pode girar sem que a água derrame para fora.
Os dados numéricos que usaremos explicitamente são:
H=1{,}00\\ \mathrm{m},\qquad D=0{,}70\\ \mathrm{m},\qquad h_0=0{,}70\\ \mathrm{m},\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Princípio físico e forma da superfície livre quando se gira: quando um líquido em um recipiente gira com velocidade angular constante \omega em torno de um eixo vertical, a superfície livre se ajusta de modo que a pressão seja constante ao longo dela. Na referencial que gira com o líquido aparece uma aceleração efetiva que é a soma de duas contribuições: a gravidade apontando para baixo e a aceleração centrífuga apontando radialmente para fora. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com z para cima:
\mathbf{a}_\text{eff} = -g\,\hat{z} + \omega^2 r\,\hat{r}.
A superfície livre é perpendicular a \mathbf{a}_\text{eff}. Isso leva à equação da forma da superfície z(r). Podemos obter z(r) integrando a condição de equilíbrio hidrostático na forma de gradiente de pressão.
Explicação passo a passo do cálculo da forma:
  • A condição de equilíbrio hidrostático no referencial rotante dá que a variação de pressão satisfaz
\nabla p = \rho\,\mathbf{a}_\text{eff}.
  • Na superfície livre a pressão é a pressão atmosférica (constante). Isso implica que à superfície z(r) a função potencial associado a \mathbf{a}_\text{eff} é constante. Integrando a relação diferencial para z(r) obtemos a forma conhecida:
z(r)=z_c+\frac{\omega^2 r^2}{2g},
onde z_c é a altura da superfície no centro r=0 (a altura central após a rotação se estabelecer).
Breve interpretação: a superfície é um paraboloide de revolução; comparando pontos com mesmo z a altura cresce com r^2 devido à aceleração centrífuga.

Passo 3

Conservação do volume do líquido (essencial): ao girar não há perda de massa até que comece a derramar, então o volume do líquido permanece igual ao volume inicial. Vamos calcular o volume usando z(r) e igualá-lo ao volume inicial.
  • Raio do cilindro R é metade do diâmetro, portanto
R=\frac{D}{2}=\frac{0{,}70}{2}=0{,}35\\ \mathrm{m}.
  • Volume inicial do líquido
V_0 = \pi R^2 h_0.
  • Volume depois que a superfície toma a forma parabólica z(r):
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} z(r)\, r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{R}\left(z_c+\frac{\omega^2 r^2}{2g}\right) r\,dr.
Calcule as integrais:
V=2\pi\left[z_c\int_{0}^{R}r\,dr+\frac{\omega^2}{2g}\int_{0}^{R}r^3\,dr\right] =2\pi\left[z_c\frac{R^2}{2}+\frac{\omega^2}{2g}\frac{R^4}{4}\right].
Simplificando:
V=\pi R^2 z_c + \pi\frac{R^4\omega^2}{4g}.
Igualando ao volume inicial V_0=\pi R^2 h_0 obtemos:
\pi R^2 z_c + \pi\frac{R^4\omega^2}{4g}=\pi R^2 h_0.
Dividindo por \pi R^2 resulta:
z_c = h_0 - \frac{R^2\omega^2}{4g}.

Passo 4

Altura da superfície no bordo (raio r=R) e condição para não derramar:
  • A altura na borda é
z(R)=z_c+\frac{\omega^2 R^2}{2g}.
Substituindo z_c da relação anterior:
z(R)=h_0 - \frac{R^2\omega^2}{4g} + \frac{\omega^2 R^2}{2g} = h_0 + \frac{R^2\omega^2}{4g}.
  • Para que a água não derrame, a altura no bordo deve ser menor ou igual à altura do cilindro H:
z(R)\le H.
Substituindo a expressão:
h_0 + \frac{R^2\omega^2}{4g}\le H.
Isolando \omega^2:
\omega^2 \le \frac{4g\,(H-h_0)}{R^2}.
Portanto,
\omega_{\max} = \sqrt{\frac{4g\,(H-h_0)}{R^2}}.
Comentário rápido (como lembrar disso na prova): a diferença H-h_0 é a folga que a superfície pode subir no bordo; o fator 4 aparece porque o centro da superfície desce um pouco (volume conserva) e isso reduz a subida no bordo, daí o termo com 1/4.

Passo 5

Substituição numérica com os valores dados:
R=0{,}35\\ \mathrm{m},\qquad H-h_0=1{,}00-0{,}70=0{,}30\\ \mathrm{m},\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calcule \omega_{\max}^2:
\omega_{\max}^2=\frac{4\cdot 9{,}8\cdot 0{,}30}{(0{,}35)^2}.
Calcule passo a passo:
4\cdot 9{,}8\cdot 0{,}30=11{,}76.
(0{,}35)^2=0{,}1225.
\omega_{\max}^2=\frac{11{,}76}{0{,}1225}=96{,}0.
Logo
\omega_{\max}=\sqrt{96{,}0}=9{,}79796\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais em \mathrm{rad/s}):
\omega_{\max}\approx 9{,}80\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

9{,}80\\ \mathrm{rad/s}

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