Um cilindro aberto, de 1 m de altura e
de diâmetro, no início contêm água a uma altura de
. Qual é a máxima velocidade angular de giro do cilindro, no centro do diâmetro, sem perder água? Re:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dimensões do cilindro:
- altura do cilindro
. - diâmetro do cilindro
.
- altura do cilindro
- Estado inicial do líquido:
- altura inicial da água dentro do cilindro
.
- altura inicial da água dentro do cilindro
- Eixo de rotação (conforme o enunciado): o cilindro é girado em torno do centro do diâmetro, ou seja, em torno do eixo que passa pelo centro da base circular (interpretamos isso como o eixo central vertical do cilindro).
- O que se pede: a máxima velocidade angular
(em ) com que o cilindro pode girar sem que a água derrame para fora.
Os dados numéricos que usaremos explicitamente são:
Passo 2
Princípio físico e forma da superfície livre quando se gira: quando um líquido em um recipiente gira com velocidade angular constante
em torno de um eixo vertical, a superfície livre se ajusta de modo que a pressão seja constante ao longo dela. Na referencial que gira com o líquido aparece uma aceleração efetiva que é a soma de duas contribuições: a gravidade apontando para baixo e a aceleração centrífuga apontando radialmente para fora. Em coordenadas cilíndricas
com
para cima:
A superfície livre é perpendicular a
. Isso leva à equação da forma da superfície
. Podemos obter
integrando a condição de equilíbrio hidrostático na forma de gradiente de pressão.
Explicação passo a passo do cálculo da forma:
- A condição de equilíbrio hidrostático no referencial rotante dá que a variação de pressão satisfaz
- Na superfície livre a pressão é a pressão atmosférica (constante). Isso implica que à superfície
a função potencial associado a é constante. Integrando a relação diferencial para obtemos a forma conhecida:
onde
é a altura da superfície no centro
(a altura central após a rotação se estabelecer).
Breve interpretação: a superfície é um paraboloide de revolução; comparando pontos com mesmo
a altura cresce com
devido à aceleração centrífuga.
Passo 3
Conservação do volume do líquido (essencial): ao girar não há perda de massa até que comece a derramar, então o volume do líquido permanece igual ao volume inicial. Vamos calcular o volume usando
e igualá-lo ao volume inicial.
- Raio do cilindro
é metade do diâmetro, portanto
- Volume inicial do líquido
- Volume depois que a superfície toma a forma parabólica
:
Calcule as integrais:
Simplificando:
Igualando ao volume inicial
obtemos:
Dividindo por
resulta:
Passo 4
Altura da superfície no bordo (raio
) e condição para não derramar:
- A altura na borda é
Substituindo
da relação anterior:
- Para que a água não derrame, a altura no bordo deve ser menor ou igual à altura do cilindro
:
Substituindo a expressão:
Isolando
:
Portanto,
Comentário rápido (como lembrar disso na prova): a diferença
é a folga que a superfície pode subir no bordo; o fator
aparece porque o centro da superfície desce um pouco (volume conserva) e isso reduz a subida no bordo, daí o termo com
.
Passo 5
Substituição numérica com os valores dados:
Calcule
:
Calcule passo a passo:
Logo
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais em
):