Sabendo que em cada caso a equação dada define uma função implícita y em termos de x, calcular y^prime(x) para cada caso:
x^2+y^2=4, y>0

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2+y^2=4,
com a condição y>0, e pede a derivada y'(x). O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia para obter y' em função de x e y.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^2+y^2=4
em relação a x, temos:
ddx(x^2)+ddx(y^2)=ddx(4)
Pela regra da potência e da cadeia,
2x + 2y,y' = 0

Passo 3

Isolando y' na equação
2x + 2y,y' = 0
vemos que
2y,y' = -2x Longrightarrow y' = -2x2y = -xy

Passo 4

Como y>0 e da relação x^2+y^2=4 obtemos
y = raiz4 - x^2,
podemos escrever a derivada em termos apenas de x:
y' = -xraiz4 - x^2

Resposta

y' = -xy ou, usando y=raiz4-x^2, y' = -xraiz4-x^2

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