Sabendo que o conjunto A=\{x+y \sqrt{3} \operatorname{com} x, y \in \mathbb{Z}\} é um anel para as operações triviais, verifique se A é um anel de integridade justificando sua resposta. ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{x+y\sqrt{3}\\ \text{com}\\ x,y\in\mathbb{Z}\} e pede para verificar se A é um anel de integridade (ou seja: se, sendo anel, não possui divisores de zero). Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de A são números do tipo x+y\sqrt{3} com x,y\in\mathbb{Z}.
  • As operações são as usuais de soma e produto em \mathbb{R} (operações triviais).

Passo 2

Definições e objetivo didático (o que vamos provar).
  • Um anel de integridade é um anel comutativo com unidade 1\neq0 que não possui divisores de zero.
  • Um elemento a é divisor de zero se existe b\neq0 tal que ab=0.
    Objetivo: mostrar que A é um anel (fechado nas operações, com 1 etc.) e que não existem a,b\in A\setminus\{0\} com ab=0.

Passo 3

Mostrar que A é um subanel de \mathbb{R} (cheio na soma, no produto e contém 1 e inversos aditivos).
  • Fechamento na soma: se a=x_1+y_1\sqrt{3} e b=x_2+y_2\sqrt{3} com x_i,y_i\in\mathbb{Z}, então
a+b=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\sqrt{3},
e como x_1+x_2\in\mathbb{Z} e y_1+y_2\in\mathbb{Z}, tem-se a+b\in A.
  • Existência de inverso aditivo: -a=(-x_1)+(-y_1)\sqrt{3}\in A.
  • Fechamento no produto: multiplicando,
ab=(x_1+y_1\sqrt{3})(x_2+y_2\sqrt{3})=(x_1x_2+3y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)\sqrt{3},
e como x_1x_2+3y_1y_2\in\mathbb{Z} e x_1y_2+x_2y_1\in\mathbb{Z}, tem-se ab\in A.
  • Unidade: 1=1+0\sqrt{3}\in A.
    Portanto A é um anel comutativo com unidade (subanel de \mathbb{R}).

Passo 4

Planejamento para mostrar ausência de divisores de zero. Estratégia eficiente: usar a norma multiplicativa
N(x+y\sqrt{3})=(x+y\sqrt{3})(x-y\sqrt{3})=x^{2}-3y^{2},
que é um inteiro para x,y\in\mathbb{Z}. Vamos mostrar que N é multiplicativa e que N(a)=0 implica a=0. Com isso, se ab=0 teremos N(a)N(b)=0 e deduziremos que um dos fatores é zero.

Passo 5

Provar que a norma é multiplicativa: para a=x_1+y_1\sqrt{3} e b=x_2+y_2\sqrt{3},
calcule N(ab).
Primeiro calcule ab (já feito no Passo 3):
ab=(x_1x_2+3y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)\sqrt{3}.
Agora
N(ab)=(x_1x_2+3y_1y_2)^{2}-3(x_1y_2+x_2y_1)^{2}.
Desenvolvendo e recolhendo termos (álgebra direta) obtém-se exatamente
N(ab)=(x_1^{2}-3y_1^{2})(x_2^{2}-3y_2^{2})=N(a)N(b).
(Observação: fazer a multiplicação e simplificação termo a termo conduz a essa igualdade; é a propriedade usual da norma em extensões quadráticas.)

Passo 6

Usar multiplicatividade para tratar ab=0.
Se ab=0 em \mathbb{R}, então N(ab)=0. Pela multiplicatividade,
0=N(ab)=N(a)N(b).
Como N(a),N(b)\in\mathbb{Z}, segue que N(a)=0 ou N(b)=0. Assim basta provar que N(a)=0 implica a=0.

Passo 7

Mostrar que N(x+y\sqrt{3})=0 implica x=y=0.
Se N(x+y\sqrt{3})=x^{2}-3y^{2}=0, então
x^{2}=3y^{2}.
Isto implica que 3 divide x^{2}, logo 3 divide x. Escrever x=3k
9k^{2}=3y^{2}\quad\Rightarrow\quad 3k^{2}=y^{2},
assim 3 divide y^{2} e portanto 3 divide y. Concluímos que tanto x quanto y são múltiplos de 3. Repetindo o argumento deduz-se que x e y são divisíveis por 3^{n} para todo n, o que é possível apenas se x=y=0.
Portanto N(a)=0\Rightarrow a=0.
(Comentário alternativo mais curto: da igualdade x^{2}=3y^{2} segue que se y\neq0 então \sqrt{3}=|x/y| seria racional, contradizendo a irracionalidade de \sqrt{3}; logo y=0 e então x=0.)

Passo 8

Concluir que não há divisores de zero em A.
Voltando: se a,b\in A com ab=0, então N(a)N(b)=0. Pelo Passo 7, N(a)=0 implica a=0, e similarmente para b. Assim não existem a,b\neq0 com ab=0. Logo A não tem divisores de zero.

Passo 9

Conclusão final e motivação: A é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, portanto é um anel de integridade. Intuitivamente, A é exatamente a sub-estrutura inteira \mathbb{Z}[\sqrt{3}] dentro de \mathbb{R}, e a norma multiplicativa foi a ferramenta chave para mostrar falta de divisores de zero.

Resposta

Sim. A é um anel de integridade.

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