Sabendo que o conjunto
é um anel para as operações triviais, verifique se A é um anel de integridade justificando sua resposta. ( 1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para verificar se
é um anel de integridade (ou seja: se, sendo anel, não possui divisores de zero). Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos de
são números do tipo com . - As operações são as usuais de soma e produto em
(operações triviais).
Passo 2
Definições e objetivo didático (o que vamos provar).
- Um anel de integridade é um anel comutativo com unidade
que não possui divisores de zero. - Um elemento
é divisor de zero se existe tal que .
Objetivo: mostrar queé um anel (fechado nas operações, com etc.) e que não existem com .
Passo 3
Mostrar que
é um subanel de
(cheio na soma, no produto e contém
e inversos aditivos).
- Fechamento na soma: se
e com , então
e como
e
, tem-se
.
- Existência de inverso aditivo:
. - Fechamento no produto: multiplicando,
e como
e
, tem-se
.
- Unidade:
.
Portantoé um anel comutativo com unidade (subanel de ).
Passo 4
Planejamento para mostrar ausência de divisores de zero. Estratégia eficiente: usar a norma multiplicativa
que é um inteiro para
. Vamos mostrar que
é multiplicativa e que
implica
. Com isso, se
teremos
e deduziremos que um dos fatores é zero.
Passo 5
Provar que a norma é multiplicativa: para
e
,
calcule .
Primeiro calcule (já feito no Passo 3):
calcule
Primeiro calcule
Agora
Desenvolvendo e recolhendo termos (álgebra direta) obtém-se exatamente
(Observação: fazer a multiplicação e simplificação termo a termo conduz a essa igualdade; é a propriedade usual da norma em extensões quadráticas.)
Passo 6
Usar multiplicatividade para tratar
.
Se em
, então
. Pela multiplicatividade,
Se
Como
, segue que
ou
. Assim basta provar que
implica
.
Passo 7
Mostrar que
implica
.
Se , então
Se
Isto implica que
divide
, logo
divide
. Escrever
dá
assim
divide
e portanto
divide
. Concluímos que tanto
quanto
são múltiplos de
. Repetindo o argumento deduz-se que
e
são divisíveis por
para todo
, o que é possível apenas se
.
Portanto .
Portanto
(Comentário alternativo mais curto: da igualdade
segue que se
então
seria racional, contradizendo a irracionalidade de
; logo
e então
.)
Passo 8
Concluir que não há divisores de zero em
.
Voltando: se com
, então
. Pelo Passo 7,
implica
, e similarmente para
. Assim não existem
com
. Logo
não tem divisores de zero.
Voltando: se
Passo 9
Conclusão final e motivação:
é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, portanto é um anel de integridade. Intuitivamente,
é exatamente a sub-estrutura inteira
dentro de
, e a norma multiplicativa foi a ferramenta chave para mostrar falta de divisores de zero.
Resposta
Sim.
é um anel de integridade.