Mostre que
dada por
, é um homomorfismo injetor de anéis. (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
O que precisa ser mostrado é que
é um homomorfismo de anéis e que é injetora. Em outras palavras, devemos verificar:
- que
preserva a adição: para todo ; - que
preserva a multiplicação: para todo ; - (opcional, dependendo da definição) que
, a matriz identidade; - que
é injetora: se então .]
Passo 2
Recordando as operações em
: para
e
com
,
Também recorde que a multiplicação de matrizes
é dada pela soma dos produtos linha por coluna. Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Verificação da aditividade: tome
e
. Então, pelo enunciado,
Por outro lado,
Comparando as duas matrizes obtemos
Portanto
preserva a adição.]
Passo 4
Verificação da multiplicação: com os mesmos
e
, calcule primeiro
por multiplicação de matrizes:
Agora simplifique cada entrada (fazendo as somas e sinais):
- entrada
: ; - entrada
: ; - entrada
: ; - entrada
: .
Assim
Mas lembrando a fórmula do produto complexo temos
. Aplicando
a esse número complexo obtemos
Portanto
Concluímos que
preserva a multiplicação.]
Passo 5
Verificação da unidade (caso queira a homomorfia unital): o elemento
é
. Aplicando
,
que é a identidade multiplicativa em
. Assim
é um homomorfismo de anéis que preserva
.]
Passo 6
Verificação da injetividade: calcule o núcleo de
. Suponha que
, a matriz zero. Então
Comparando entradas obtemos o sistema de igualdades reais
Dessas igualdades segue que
e
. Logo o único
com
é
. Assim
, o que implica que
é injetora.]
Passo 7
Resumo e interpretação: mostramos que
preserva adição e multiplicação, que
e que
. Portanto
é um homomorfismo de anéis (unital) e é injetora. Intuitivamente,
insere os números complexos como matrizes que representam a ação por multiplicação complexa no plano real, e essa representação é fiel (injetora).