Mostre que f: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) dada por f(a+b i)=\left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right), \forall a, b \in \mathbb{R}, é um homomorfismo injetor de anéis. (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação f:\mathbb{C}\to M_{2}(\mathbb{C}) definida por
f(a+bi)=\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}, \qquad\forall a,b\in\mathbb{R}.
O que precisa ser mostrado é que f é um homomorfismo de anéis e que é injetora. Em outras palavras, devemos verificar:
  • que f preserva a adição: \,f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2)\, para todo z_1,z_2\in\mathbb{C};
  • que f preserva a multiplicação: \,f(z_1 z_2)=f(z_1)f(z_2)\, para todo z_1,z_2\in\mathbb{C};
  • (opcional, dependendo da definição) que f(1)=I_2, a matriz identidade;
  • que f é injetora: se f(z)=0_{2} então z=0.]

Passo 2

Recordando as operações em \mathbb{C}: para z_1=a+bi e z_2=c+di com a,b,c,d\in\mathbb{R},
z_1+z_2=(a+c)+i(b+d) \qquad\text{e}\qquad z_1 z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc).
Também recorde que a multiplicação de matrizes 2\times2 é dada pela soma dos produtos linha por coluna. Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Verificação da aditividade: tome z_1=a+bi e z_2=c+di. Então, pelo enunciado,
f(z_1+z_2)=f\big((a+c)+i(b+d)\big) =\begin{pmatrix}a+c & -(b+d)\\[4pt] b+d & a+c\end{pmatrix}.
Por outro lado,
f(z_1)+f(z_2) =\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}c & -d\\[4pt] d & c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+c & -(b+d)\\[4pt] b+d & a+c\end{pmatrix}.
Comparando as duas matrizes obtemos
f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2).
Portanto f preserva a adição.]

Passo 4

Verificação da multiplicação: com os mesmos z_1=a+bi e z_2=c+di, calcule primeiro f(z_1)f(z_2) por multiplicação de matrizes:
\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & -d\\[4pt] d & c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+(-b)d & a(-d)+(-b)c\\[4pt] bc+ad & b(-d)+ac \end{pmatrix}.
Agora simplifique cada entrada (fazendo as somas e sinais):
  • entrada (1,1): ac+(-b)d = ac-bd;
  • entrada (1,2): a(-d)+(-b)c = -ad-bc = -(ad+bc);
  • entrada (2,1): bc+ad = ad+bc;
  • entrada (2,2): b(-d)+ac = -bd+ac = ac-bd.
    Assim
f(z_1)f(z_2)=\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc)\\[4pt] ad+bc & ac-bd\end{pmatrix}.
Mas lembrando a fórmula do produto complexo temos z_1 z_2=(ac-bd)+i(ad+bc). Aplicando f a esse número complexo obtemos
f(z_1 z_2)=\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc)\\[4pt] ad+bc & ac-bd\end{pmatrix}.
Portanto
f(z_1 z_2)=f(z_1)f(z_2).
Concluímos que f preserva a multiplicação.]

Passo 5

Verificação da unidade (caso queira a homomorfia unital): o elemento 1\in\mathbb{C} é 1+0i. Aplicando f,
f(1)=f(1+0i)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_2,
que é a identidade multiplicativa em M_2(\mathbb{C}). Assim f é um homomorfismo de anéis que preserva 1.]

Passo 6

Verificação da injetividade: calcule o núcleo de f. Suponha que f(a+bi)=0_{2}, a matriz zero. Então
\begin{pmatrix}a & -b\\[4pt] b & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Comparando entradas obtemos o sistema de igualdades reais
a=0,\qquad -b=0,\qquad b=0,\qquad a=0.
Dessas igualdades segue que a=0 e b=0. Logo o único z\in\mathbb{C} com f(z)=0_{2} é z=0. Assim \ker f=\{0\}, o que implica que f é injetora.]

Passo 7

Resumo e interpretação: mostramos que f preserva adição e multiplicação, que f(1)=I_2 e que \ker f=\{0\}. Portanto f é um homomorfismo de anéis (unital) e é injetora. Intuitivamente, f insere os números complexos como matrizes que representam a ação por multiplicação complexa no plano real, e essa representação é fiel (injetora).

Resposta

f é um homomorfismo de anéis (unital) e é injetora.

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