Sabendo que
, calcule a densidade de cargas em
e a carga total encerrada no cilindro de raio 1 m com
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de deslocamento elétrico dado por
. Precisamos calcular:
- A densidade de carga no ponto com coordenadas esféricas
. - A carga total dentro de um cilindro de raio 1 metro e altura de
a metros.
Para resolver isso, vamos usar a relação entre o campo de deslocamento elétrico
e a densidade de carga livre
dada por
. Além disso, para calcular a carga total, vamos integrar a densidade de carga dentro do volume do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga
no ponto dado. Para isso, precisamos calcular a divergência do campo
em coordenadas cilíndricas, já que o campo está expresso em termos de
,
e
.
A divergência em coordenadas cilíndricas é dada por:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 3
Substituindo os valores de
,
e
na expressão da divergência, temos:
Portanto, a densidade de carga livre é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade de carga no ponto específico
. Aqui,
,
e
.
Substituindo esses valores na expressão da densidade de carga:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a carga total encerrada no cilindro de raio 1 metro e altura de
a
metros. Para isso, vamos integrar a densidade de carga
sobre o volume do cilindro.
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Então, a carga total
é:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, a integral em
:
Isso porque
tem média
sobre um período
, então:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral de
:
Primeiro, integramos em
:
Passo 8
Substituindo de volta:
A integral em
:
Então:
Resposta
A densidade de carga em
é
e a carga total encerrada no cilindro é
.