Um anel circular de raio
, uniformemente carregado, encontra-se no plano
centrado na origem. (a) Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico em um ponto com coordenadas
é dado por:
(b) Para quais valores de
o vetor campo elétrico terá máxima intensidade. © Se a carga total do anel for
, determine o vetor campo elétrico para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um anel circular de raio
, carregado uniformemente, localizado no plano
e centrado na origem. O objetivo é demonstrar que o campo elétrico em um ponto com coordenadas
é dado por:
Aqui,
é a densidade linear de carga, e
é a permissividade do vácuo. Vamos precisar dos conceitos de campo elétrico e de integração ao longo de uma distribuição de carga.
Passo 2
Começamos lembrando que o campo elétrico
devido a uma carga pontual
em uma posição
é dado por:
Neste caso,
é o ponto onde queremos calcular o campo, e
percorre o anel.
Passo 3
Vamos parametrizar o anel usando coordenadas polares no plano
. Assim, um ponto qualquer no anel pode ser descrito por:
onde
varia de
a
.
Passo 4
A diferença
então fica:
E a distância
é:
Note que, pela simetria do anel, a contribuição do campo nas direções
e
se cancelam, restando apenas a componente na direção
.
Passo 5
A componente
do campo elétrico é então:
A densidade linear de carga
está definida como
, onde
é a carga total do anel. Assim,
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Para obter o campo total
, integramos de
a
:
Passo 7
A integral de
de
a
é simplesmente
. Então:
Multiplicando pela direção
, temos o vetor campo elétrico.
Resposta
O campo elétrico no ponto
é dado por: