Uma lamina fina
, sobre o plano
, tem uma densidade de carga dada por
. Determine: (a) a carga total da lamina; (b) o campo eletrico em (
); © a força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lamina fina que está no plano
, com dimensões de
e
. A densidade de carga dessa lamina é dada por
nC/m². Precisamos encontrar três coisas: (a) a carga total da lamina, (b) o campo elétrico no ponto (0,0,5) e © a força que uma carga de -1 mC experimenta nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para a carga total e de eletrostática para o campo e a força elétrica.
Passo 2
(a) Carga total da lamina
Primeiro, para encontrar a carga total da lamina, a gente precisa integrar a densidade de carga
sobre toda a área da lamina. Isso significa calcular:
Como a lamina está no plano
e vai de
a
em
e
, nossos limites de integração são de 0 a 1 para ambas as variáveis.
Então, substituindo a expressão da densidade de carga:
Vamos resolver essa integral dupla.
Passo 3
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Para simplificar, fazemos uma substituição:
Quando
,
. Quando
,
.
Substituindo na integral:
Integrando
:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a
:
Essa integral pode ser resolvida numericamente, pois é complexa para uma solução analítica simples. Usando métodos de integração numérica ou uma calculadora apropriada, encontramos o valor de
.
Passo 5
(b) Campo elétrico no ponto (0,0,5)
Para encontrar o campo elétrico
no ponto
, usamos a lei de Coulomb para distribuições contínuas:
Onde
é o vetor posição do ponto de observação em relação a cada ponto na lamina. No nosso caso,
.
A magnitude de
é:
Então, substituindo na expressão do campo:
Simplificando:
Passo 6
Observando essa expressão, percebemos que as componentes
e
serão integrais de funções ímpares sobre uma região simétrica (de 0 a 1), o que resulta em zero. Assim, só resta a componente
:
Calculando:
Passo 7
© Força sobre uma carga de -1 mC em (0,0,5)
A força
sobre uma carga
em um campo elétrico
é dada por:
Temos
mC =
C e
.
Então:
Resposta
(a) A carga total da lamina é
nC.
(b) O campo elétrico no ponto (0,0,5) é
N/C.
© A força experimentada pela carga de -1 mC é
N.