Q. 4(1,2). Sabendo que a desigualdade x-x^36 <= sen(x) <= x-x^36+x^510 é válida para todo x >= 0, use-a para determina lim x 0^+ sen(x)-xx^3.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade válida para todo x>=0:\r
x - x^36 ;<=;sin(x);<=;x - x^36 + x^510, \r
e pede\r
limxto0^+sin(x)-xx^3.\r
Aqui vamos usar o Teorema do Confronto (ou Sanduíche), transformando a desigualdade para o quociente sin(x)-xx^3 e então tirar o limite das cotas.

Passo 2

Subtraímos x de cada termo e dividimos tudo por x^3 (positivo para x>0). Primeiro\r
x - x^36 ;<=;sin(x);<=;x - x^36 + x^510 \r
vira\r
x - x^36 - x ;<=;sin(x)-x;<=;x - x^36 + x^510 - x \r
ou seja\r
-,x^36 ;<=;sin(x)-x;<=;-,x^36 + x^510 \r
Agora dividimos por x^3:\r
-,16 ;<=;sin(x)-xx^3;<=;-,16 + x^210

Passo 3

Observamos o comportamento das cotas quando xto0^+:\r
limxto0^+l(-tfrac16r) = -tfrac16, limxto0^+l(-tfrac16 + tfracx^210r) = -tfrac16 \r
Como ambas cotas tendem a -tfrac16, o Teorema do Confronto garante que\r
limxto0^+sin(x)-xx^3 = -tfrac16

Resposta

-,16

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