Verifique que cada função dada é solução da equação diferencial parcial.
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0 ; u1(x, y)=cos x cosh y, u2(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que cada função satisfaz a equação de Laplace
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = 0
As duas funções são
u1(x,y)=cos x,cosh y
e
u2(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
Para cada caso vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x e y e mostrar que sua soma é zero.

Passo 2

Calculemos as derivadas de u1.
A derivada em x é
u1x = partialpartial xl(cos x,cosh yr) = -sin x,cosh y,
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u1xx = partialpartial xl(-sin x,cosh yr) = -cos x,cosh y
A derivada em y é
u1y = partialpartial yl(cos x,cosh yr) = cos x,sinh y,
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u1yy = partialpartial yl(cos x,sinh yr) = cos x,cosh y
Somando:
u1xx + u1yy = -cos x,cosh y + cos x,cosh y = 0
Portanto u1 satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Agora u2(x,y)=lnl(x^2+y^2r).
A derivada em x é
u2x = 1x^2+y^2cdot 2x = 2xx^2+y^2,
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u2xx = partialpartial xl(2xx^2+y^2r) = 2(x^2+y^2) - 2xcdot 2x(x^2+y^2)^2 = 2y^2-2x^2(x^2+y^2)^2
A derivada em y é
u2y = 1x^2+y^2cdot 2y = 2yx^2+y^2,
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u2yy = partialpartial yl(2yx^2+y^2r) = 2(x^2+y^2) - 2ycdot 2y(x^2+y^2)^2 = 2x^2-2y^2(x^2+y^2)^2
Somando:
u2xx + u2yy = 2y^2-2x^2 + 2x^2-2y^2(x^2+y^2)^2 = 0
Portanto u2 também satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Ambas as funções u1(x,y)=cos x,cosh y e u2(x,y)=lnl(x^2+y^2r) são soluções da equação diferencial parcial
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = 0

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