Se a^2<3 b, conclua que a função f(x)=x^3+a x^2+b x+c não possui máximo nem mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3+a,x^2+b,x+c
e a condição
a^2<3,b
Queremos concluir que f não tem nem máximo nem mínimo. O conteúdo envolve derivadas, cálculo do discriminante de uma função quadrática e monotonicidade.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^3+a,x^2+b,x+cr) =3,x^2+2,a,x+b

Passo 3

O polinômio f'(x) é uma quadrática de coeficiente líder positivo ( 3>0). Seu discriminante é
De<a = (2,a)^2-4cdot3cdot b =4,a^2-12,b =4,(a^2-3,b)
Pela hipótese a^2-3,b<0, segue De<a<0.

Passo 4

Como De<a<0 e o coeficiente de x^2 em f'(x) é positivo, a quadrática f'(x) nunca zera e está sempre acima de zero. Logo,
f'(x)>0forall xinR,
ou seja, f é estritamente crescente em toda a reta.

Resposta

A função f não possui nem máximo nem mínimo, pois é estritamente crescente.

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