Sabendo que det(k I-A)=k^2-k traço(A)+det(A)̧, mostre que se: traço(A)>2 raizdet(A)̧ ou traço(A)<-2 raizdet(A)̧, então a matriz A2 times 2 tem dois autovalores reais e distintos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz 2×2 A com polinômio característico dado por det(kI - A)=k^2 - k,tr(A)+det(A), se o traço satisfaz tr(A)>2raizdet(A) ou tr(A)<-2raizdet(A), então A tem dois autovalores reais e distintos. Vamos usar teoria de raízes de equações quadráticas.

Passo 2

O polinômio característico de A é
k^2 - (tr(A)),k + det(A) = 0

Passo 3

As soluções (autovalores) desse polinômio são dadas pela fórmula de Bhaskara, onde o discriminante De é
$$\Delta = (\mathrm{tr}(A))^2 - 4\det(A).
$$

Passo 4

Para que as raízes sejam reais e distintas, precisamos de De0.

Passo 5

Agora, verificamos as hipóteses do enunciado:
  • Se tr(A)>2raizdet(A), então elevando ao quadrado obtemos
(tr(A))^2 > 4det(A) Longrightarrow De0

Passo 6

  • Se tr(A)<-2raizdet(A), então também
(tr(A))^2 > 4det(A) Longrightarrow De0

Passo 7

Em ambos os casos o discriminante é positivo, logo o polinômio característico tem duas raízes reais e distintas, ou seja, A tem dois autovalores reais e distintos.

Resposta

Como em ambos os casos (tr(A))^2>4det(A), o discriminante do polinômio característico é positivo e portanto A tem dois autovalores reais e distintos.

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