Sabendo que
, mostre que se:
ou
, então a matriz
tem dois autovalores reais e distintos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz 2×2 A com polinômio característico dado por
, se o traço satisfaz
ou
, então A tem dois autovalores reais e distintos. Vamos usar teoria de raízes de equações quadráticas.
Passo 2
O polinômio característico de A é
Passo 3
As soluções (autovalores) desse polinômio são dadas pela fórmula de Bhaskara, onde o discriminante
é
$$\Delta = (\mathrm{tr}(A))^2 - 4\det(A).
$$
Passo 4
Para que as raízes sejam reais e distintas, precisamos de
.
Passo 5
Agora, verificamos as hipóteses do enunciado:
- Se
, então elevando ao quadrado obtemos
Passo 6
- Se
, então também
Passo 7
Em ambos os casos o discriminante é positivo, logo o polinômio característico tem duas raízes reais e distintas, ou seja, A tem dois autovalores reais e distintos.
Resposta
Como em ambos os casos
, o discriminante do polinômio característico é positivo e portanto A tem dois autovalores reais e distintos.