Seja a matriz ll1 & 1 / 2 0 & 1 / 2, tal que f^(i)=A f^(i-1). Mostre que:
f^(2)=[ll 1 & 3 / 4 0 & 1 / 4 ] f^(0), f^(3)=[ll 1 & 7 / 8 0 & 1 / 8 ] f^(0) f^(n)=A^(n) f^(0)=[cc 1 & (1-1 / 2^n) 0 & 1 / 2^n ] f^(0)
(sugestão: prove por indução)

Passo 1

O enunciado dá a matriz A=1 & 1/20 & 1/2 e define a sequência por f^(i)=A,f^(i-1). Precisamos mostrar explicitamente f^(2), f^(3) e depois provar por indução a forma geral f^(n)=A^nf^(0)=1 & 1-1/2^n0 & 1/2^nf^(0). Vamos usar multiplicação de matrizes e o princípio da indução.

Passo 2

Para calcular f^(2)=A^2f^(0), primeiro encontramos A^2=A,A. Fazendo a multiplicação:
A^2=1 & 1/20 & 1/21 & 1/20 & 1/2=1cdot1+tfrac12cdot0 & 1cdottfrac12+tfrac12cdottfrac120cdot1+tfrac12cdot0 & 0cdottfrac12+tfrac12cdottfrac12=1 & 3/40 & 1/4Logo,
f^(2)=A^2f^(0)=1 & 3/40 & 1/4f^(0)

Passo 3

Para f^(3)=A^3f^(0), calculamos A^3=A,A^2:
A^3=1 & 1/20 & 1/21 & 3/40 & 1/4=1 & 1cdottfrac34+tfrac12cdottfrac140 & 0+tfrac12cdottfrac14=1 & 7/80 & 1/8Então
f^(3)=A^3f^(0)=1 & 7/80 & 1/8f^(0)

Passo 4

Agora, para a forma geral, usamos indução. Suponha que para algum k>=1 valha
A^k=1 & 1-1/2^k0 & 1/2^kMultiplicamos por A para obter A^k+1=A,A^k:
A^k+1=1 & 1/20 & 1/21 & 1-1/2^k0 & 1/2^k=1 & (1-1/2^k)+tfrac12cdottfrac12^k0 & tfrac12cdottfrac12^kNo segundo elemento da primeira linha temos
(1-1/2^k)+1/(2^k+1)=1-1/2^k+1/2^k+1=1-1/2^k+1,e o elemento (2,2) é 1/2^k+1. Logo
A^k+1=1 & 1-1/2^k+10 & 1/2^k+1,fechando a indução. Dessa forma, para todo n
f^(n)=A^nf^(0)=1 & 1-1/2^n0 & 1/2^nf^(0)

Resposta

f^(2)=1 & 3/40 & 1/4f^(0),f^(3)=1 & 7/80 & 1/8f^(0),f^(n)=1 & 1-1/2^n0 & 1/2^nf^(0)

Exercícios relacionados