Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só existe espaço para 10 aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas, sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?
Solução: Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda temse 11, para a terceira tem-se 10 e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3 possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:
12.11.10.9.8.7.6.5.4.3 = 239500800 maneiras distintas, em outras palavras fizemos A12,10= 12!(12-10)!=12.11 cdot 10.9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3=239500800
Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por 10! para anular a permutação das 10 aves no poleiro, mas a ordem das aves empoleiradas distingue um agrupamento do outro.

Passo 1

A gente tem um galinheiro com 12 aves e só 10 lugares no poleiro. Como a ordem de quem sobe primeiro importa e não dá pra repetir uma ave, estamos num problema de Arranjo Simples: vamos escolher 10 elementos de um total de 12, considerando permutações.

Passo 2

Na teoria, um Arranjo Simples de n elementos tomados p a p sem repetição tem fórmula
A(n,p)=n!(n-p)!

Passo 3

No nosso caso, n=12 e p=10. Logo,
A(12,10)=12!(12-10)!=12!2!

Passo 4

Para finalizar, simplificamos:
12!2!=12cdot11cdot10cdot9cdot8cdot7cdot6cdot5cdot4cdot3cdot2cdot12cdot1=12cdot11cdot10cdot9cdot8cdot7cdot6cdot5cdot4cdot3=239,500,800

Resposta

239500800

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