Sabendo que a diferença de potencial
\mathrm{V}=12,0 \mathrm{~V}
é aplicada nos terminais do circuito, determine a carga acumulada em cada um dos circuitos.

Passo 1

O enunciado pede: “determine a carga acumulada em cada um dos circuitos” quando a diferença de potencial \mathrm{V}=12{,}0\\ \mathrm{V} é aplicada nos terminais do circuito da figura. As informações que eu tenho são:
  • A tensão aplicada é \mathrm{V}=12{,}0\\ \mathrm{V}.
  • A figura mostra três capacitores rotulados \\ C_{1}, \\ C_{2} e \\ C_{3}. Pela geometria do desenho, os dois capacitores \\ C_{1} e \\ C_{2} estão colocados em série em um ramo (estão empilhados um sobre o outro entre os mesmos nós do ramo esquerdo) e o capacitor \\ C_{3} está no ramo da direita ligando os mesmos terminais (ou seja, \\ C_{3} está em paralelo com o conjunto série \\ C_{1}- \\ C_{2}).
  • Eu não tenho os valores numéricos das capacitâncias \\ C_{1}, \\ C_{2} e \\ C_{3} na mensagem que você enviou (na imagem aparecem apenas os rótulos). Sem esses valores não é possível calcular números finais para as cargas; portanto vou explicar passo a passo o método e dar as fórmulas finais em função de \\ C_{1}, \\ C_{2}, \\ C_{3} e \\ V. Se você depois me passar os valores numéricos de \\ C_{1}, \\ C_{2} e \\ C_{3}, eu faço as contas numéricas prontinho.

Passo 2

Identificação da topologia e consequências físicas (regra prática):
  • Dois elementos estão em série quando estão conectados um após o outro e não há outro caminho paralelo entre os dois nós entre eles. Em série, a carga em ambas as placas internas é a mesma: a carga que aparece num capacitor em série é igual à do outro (módulo).
  • Dois elementos estão em paralelo quando as duas extremidades de um estão ligadas exatamente aos mesmos dois nós do outro. Em paralelo, a tensão nos dois é a mesma e as cargas se somam para dar a carga total fornecida pelo gerador.
Aplicando isso ao circuito:
  • \\ C_{1} e \\ C_{2} estão em série, logo terão a mesma carga (em módulo), que chamarei de \\ Q_{12} (a carga que circula nessa combinação série).
  • A combinação série \\ C_{1}- \\ C_{2} está em paralelo com \\ C_{3}. Portanto a tensão total \\ V aparece igualmente sobre o conjunto série e sobre \\ C_{3}.

Passo 3

Capacitância equivalente da série \\ C_{1} e \\ C_{2}:
  • Fórmula para capacitores em série: a capacitância equivalente \\ C_{12} é dada por
\frac{1}{C_{12}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.
Explicando termos: \\ C_{1} e \\ C_{2} são as capacitâncias individuais; \\ C_{12} é a capacitância única que substitui o par em série — ela é sempre menor que cada uma das duas. Isolando \\ C_{12} obtemos a forma prática:
C_{12}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.

Passo 4

Capacitância equivalente total do circuito (já que \\ C_{12} está em paralelo com \\ C_{3}):
  • Para capacitores em paralelo soma-se diretamente:
C_{\text{eq}}=C_{12}+C_{3}.
  • A carga total fornecida pela fonte (ou a carga total armazenada no circuito) é
Q_{\text{tot}}=C_{\text{eq}}\;V.
Mas note que essa carga total se distribui: uma parte vai para o ramo do conjunto série ( \\ C_{12}) e outra parte vai para \\ C_{3}. Como os dois ramos estão em paralelo, a tensão em cada ramo é \\ V.

Passo 5

Cálculo das cargas nos ramos e nos capacitores individuais:
  • No ramo do capacitor \\ C_{3} (ramo em paralelo), a carga em \\ C_{3} é dada pela lei básica do capacitor:
Q_{3}=C_{3}\;V.
Explicação: em paralelo a tensão sobre \\ C_{3} é \\ V, e Q=C\cdot V é a relação fundamental entre carga, capacitância e tensão.
  • No ramo série \\ C_{1}- \\ C_{2}, a carga que corre é a mesma nos dois capacitores. Essa carga comum, que chamei de \\ Q_{12}, é a carga armazenada no equivalente \\ C_{12} quando submetido à tensão \\ V. Assim:
Q_{12}=C_{12}\;V.
Substituindo a expressão de \\ C_{12} (Passo 3) obtemos uma fórmula útil:
Q_{12}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\;V.
  • Como \\ C_{1} e \\ C_{2} estão em série, as cargas em cada um (em módulo) são iguais a \\ Q_{12}. Portanto:
Q_{1}=Q_{2}=Q_{12}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\;V.
Explicando: mesmo que as tensões individuais em \\ C_{1} e \\ C_{2} sejam diferentes ( V_{1}=Q_{1}/C_{1} e V_{2}=Q_{2}/C_{2}), a carga é a mesma porque a corrente que carregou ambos teve de passar por ambos (situação de série).

Passo 6

Resumo prático do procedimento (como fazer rapidamente na prova):
  1. Identifique série e paralelo. Aqui: \\ C_{1} e \\ C_{2} em série; resultado em paralelo com \\ C_{3}.
  2. Calcule \\ C_{12}=\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}.
  3. Como o ramo série e \\ C_{3} estão em paralelo, a tensão em cada ramo é \\ V.
  4. Calcule Q_{3}=C_{3}V.
  5. Calcule Q_{1}=Q_{2}=Q_{12}=C_{12}V=\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}V.
  6. Se precisar do sinal (mais/menos), lembre-se que as placas ligadas ao terminal positivo da fonte ficam com carga positiva, e as do terminal negativo com carga negativa — em módulos usamos as fórmulas acima.

Resposta

Q_{1}=Q_{2}=\dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\;V
Q_{3}=C_{3}\;V
(Impossível fornecer valores numéricos porque os valores de C_{1}, C_{2} e C_{3} não foram informados.)

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